Question

As permutações das letra da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 53 palavra nessa lista é:

Answer 1

Primeiro, vamos codificar cada letra da palavra com um número seguindo a ordem alfabética, a letra que vier primeiro recebe o menor número, a próxima recebe o segundo menor e etc:

A = 1, O = 2, P = 3, R = 4, V = 5.

Assim fica mais fácil por os anagramas em ordem alfabética:

1ª = 12.345 = AOPRV
2ª = 12.354 = AOPVR
3ª = 12.435 = AORPV
...       ...            ...

Note que a primeira "palavra" é o menor número possível de se escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 e a segunda é a segunda menor e que a lista segue essa lógica. Assim, o problema, agora, se transformou em:
"Ache o 53º número dessa lista."

Espero que tenha percebido que é bem complicado listar 53 desses números em ordem (é bem fácil cometermos erros), portanto vamos procurar uma maneira mais eficaz de chegarmos no 53º número e ainda estarmos saudáveis ;D.



Vamos usar combinatória e ver quantos desses números começam por 1:
Temos 5 algarismos para formar um número de 5 algarismos. Deixando que o 1 seja o primeiro número nos restam os outros 4 para permutarmos:

$P_4= 4!= 4\cdot3\cdot2\cdot1=\boxed{24}$

Logo percebemos que o 53º não começa por 1 :).


Usando a mesmíssima lógica para os números que começam com 2, e juntando com os 24 primeiros que calculamos, teremos 48 números que começam com 1 ou com 2. Já estamos perto o bastante para chegar ao 53º. 

Note, agora, que o 49º é o menor número que podemos escrever começado por 3. Vamos escrevê-lo e continuar a lista:

49ª = 31245
50ª = 31254
51ª = 31425
52ª = 31452

53ª = 31524 = PAVOR :{

Credo!!! Sabia que essa questão era do capeta! kkkkk