Question

As peças cerâmicas quando destinadas a queima, são levadas à fornos onde adquirem suas propriedades finais. Esse tratamento térmico é responsável por uma série de transformações físico-químicas das peças como: perda de massa, desenvolvimento de novas fases cristalinas, formação de fase vítrea e a soldagem (sinterização) dos grãos. Os produtos são submetidos a temperaturas elevadas, que para a maioria dos produtos situa-se entre 800 °C a 1000 °C, em fornos contínuos ou intermitentes que operam em três fases: - aquecimento da temperatura ambiente até a temperatura desejada; - patamar durante certo tempo na máxima temperatura da curva de queima; - resfriamento até temperaturas inferiores a 200 °C. O ciclo de queima compreendendo as três fases, dependendo do tipo de produto e da tecnologia empregada, pode variar de algumas horas até vários dias.

Um forno industrial tem como equação de elevação de temperatura dada por \dpi{80} f(x)=e^x-x^3+25 em graus Celsius (°C) e a função tempo "x" é dada em horas (h).
Fazendo uso do Método da Bissecção, calcule o instante "x" em que o forno atinge a temperatura f(x)=1000 °C, com ε=5 °C, sabendo que essa temperatura ocorrerá entre 7 h e 8 h. Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo.

Escolha uma:
a. 7,01 h.
b. 7,21 h.
c. 7,99 h.
d. 7,88 h.
e. 7,00 h

Answer 1

Como o método da bissecção tem como finalidade principal encontrar raízes de funções, iremos subtrair 1000 unidades de f(x) para que o valor x encontrado seja a solução para o problema

Utilizando o método de bissecção para:

$f(x) =e^x-x^3-975\\a_0=7\\b_b=8$

Temos:

*Regras do método de bissecção:

$x_n=\frac{a_n+b_n}{2}$

$a_{n+1}= \left \{{{a_n\ se\ f(a_n)*f(x_n)\ \textless \ 0} \atop {x_n\ se\ f(x_n)*f(b_n)\ \textless \ 0}}\right.\\\\ b_{n+1}= \left \{{{x_n\ se\ f(a_n)*f(x_n)\ \textless \ 0} \atop {b_n\ se\ f(x_n)*f(b_n)\ \textless \ 0}}\right.$

$|E_{x_n}| \leq |f(x_n)-f(x_{n-1})|$

$a_0=7\ \ x_0 = 7.5\ \ b_0=8\\f(a_0)=-221.367\ \ \ f(x_0)=411.167\ \ \ f(b_0)=1493.96\\\\a_1=7\ \ x_1=7.25\ \ b_1=7.5\\f(a_1)=-221.367\ \ \ f(x_1)=52.0267\ \ \ f(b_1)=411.167\\|E_{x_1}| \leq 359.141\\\\a_2=7\ \ x_2=7.125\ \ b_2=7.25\\f(a_2)=-221.367\ \ \ f(x_2)=-94.057\ \ \ f(b_2)=52.0267\\|E_{x_2}| \leq 146.084\\\\a_3=7.125\ \ x_3=7.1875\ \ b_3=7.25\\f(a_3)=-94.057\ \ \ f(x_3)=-23.5153\ \ \ f(b_3)=52.0267\\|E_{x_3}| \leq 70.5416$

$a_4=7.1875\ \ x_4=7.21875\ \ b_4=7.25\\f(a_4)=-23.5153\ \ \ f(x_4)=13.6104\ \ \ f(x_4)=52.0267\\|E_{x_4}| \leq 37.1257\\\\a_5=7.1875\ \ x_5=7.203125\ \ b_5=7.21875\\f(a_5)=-23.5153\ \ \ f(x_5)=-5.11118\ \ \ f(x_5)=13.6104\\|E_{x_5}| \leq 18.7216\\\\a_6=7.203125\ \ x_6=7.2109375\ \ b_6=7.21875\\f(a_6)=-5.11118\ \ \ f(x_6)=4.2096\ \ \ f(x_6)=13.6104\\|E_{x_6}| \leq 9.32079\\\\a_7=7.203125\ \ x_7=7.20703125\ \ b_7=7.2109375\\f(a_7)=-5.11118\ \ \ f(x_7)=-0.4607\ \ \ f(x_7)=4.2096\\|E_{x_7}| \leq 4.670357$

O instante x encontrado é igual a 7.20703125 horas, e a alternativa mais próxima desse valor é:

$\boxed{b)\ 7.21h}$