Question

As operações com números complexos na forma trigonométrica facilitam o cálculo envolvendo os elementos desse conjunto. A radiciação se torna facilitada com a utilização das fórmulas de Moivre. Considere um número complexo qualquer z = a + bi. A forma trigonométrica de z é:segue em anexo mais detalhes...

870f7bf1b1395a9e79f27758df965eb8.docx

Answer 1

Exemplo 1. Determine as raízes quadradas de 2i.
Solução: Primeiro devemos escrever o número complexo na forma trigonométrica.
Todo do número complexo é da forma z = a + bi. Assim, temos que:
Sabemos também que:
Com os valores de seno e cosseno podemos concluir que:
Assim, a forma trigonométrica de z = 2i é:
Agora, vamos calcular as raízes quadradas de z utilizando a fórmula de Moivre
Como queremos as raízes quadradas de z, obteremos duas raízes distintas z0 e z1.
Para k = 0, teremos
Para k = 1, teremos:
Ou

Exemplo 2. Obtenha as raízes cúbicas de z = 1∙(cosπ + i∙senπ)
Solução: Como o número complexo já está na forma trigonométrica, basta utilizar a fórmula de Moivre. Pelo enunciado temos que ø = π e |z| = 1. Assim,
Teremos três raízes distintas, z0, z1 e z2.
Para k = 0
Para k = 1
Ou z1 = – 1, pois cos π = – 1 e sen π = 0.
Para k = 2