Question

As normas postais especificam que um pacote enviado pelo serviço específico de remessa de pacotes deve ter a soma do comprimento com o perímetro da
seção transversal menor que 108 polegadas. Determine as dimensões de um pacote retangular que seção transversal quadrada e o maior volume que pode ser enviado pelo correio. Qual o volume desse pacote?
Sugestão: A soma do comprimento com o perímetro da seção transversal é 4x + h (veja a figura ).
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Answer 1

O volume máximo da caixa é 11664 inch³.

Inicialmente, vamos escrever a equação da soma do comprimento com o perímetro e igualar ao valor máximo permitido, de 108 polegadas. Então, vamos isolar o valor de h. Assim:

$4x+h=108\\ \\ h=108-4x$

Agora, vamos montar a expressão para o cálculo do volume da caixa. Uma vez que ela possui formato de um paralelepípedo, o volume é resultado do produto entre as três dimensões, ou seja:

$V=x\times x\times h=x^2\times h$

Contudo, vamos substituir a primeira função encontrada do comprimento em função da aresta da seção transversal, obtendo a seguinte equação:

$V=x^2\times (108-4x)=108x^2-4x^3$

Agora que temos a função volume, podemos calcular seu máximo. Para isso, devemos derivar a função e igualar a zero. Desse modo, vamos obter o valor de X que maximiza o volume.

$V=108x^2-4x^3\\ \\ V'=216x-12x^2=0\\ \\ 12x=216\\ \\ \boxed{x=18 \ cm}$

Nesse momento, podemos voltar a função volume e determinar o volume do pacote com dimensões máximas. Portanto, esse valor será:

$V=108\times 18^2-4\times 18^3\\ \\ \boxed{V=11664 \ inch^3}$