Question

As medidas em centímetros dos lados de um triângulo retângulo são expressas por números inteiros. Sabendo que um dos catetos e a hipotenusa são números consecutivos e que a hipotenusa mede mais do que 38 cm e menos do que 44 cm, então o perímetro desse triângulo mede, em cm:
(A) 49
(B) 64
(C) 89
(D) 90
(E) 121

Alguém, por favor, poderia me explicar como achar a solução desse problema. Obrigada

Answer 1

Olá!

Vou responder mais de uma maneira lógica do que matemática pois acredito que fique mais fácil o entendimento da proposta da questão.

Primeiro, o problema nos dá três importantes informações que serão nossos pontos de partida para a resolução:
I) Um dos catetos (a) e a hipotenusa (h) são números consecutivos.
II) A hipotenusa mede mais do que 38 e menos do que 44, ou seja, , 39 ≤ h ≤ 43.
III) O triângulo é retângulo.

Partindo daí, pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que em um triângulo retângulo a medida do quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos: h² = a² + b², onde h é a hipotenusa, a e b são os catetos.

Além disso, também sabemos que em um triângulo desse tipo a hipotenusa tem a maior medida entre os 3 lados. De acordo com a informação I extraída do problema, onde diz que o cateto a e a hipotenusa são números consecutivos, sabemos então que pelo fato da hipotenusa ser necessariamente maior que o cateto, este cateto terá a medida da hipotenusa -1, ou então a = h-1.

Com isso em mente, como o valor da hipotenusa está entre 39 e 43, você pode imaginar o problema em 5 diferentes situações:
A) Quando h = 39 e a = 38 (Pois, como visto antes, são consecutivos)
Aplicando Pitágoras:
39² = 38² + b²
1521 = 1444 + b²
b = √77

Então, quando h = 39, a = 38 e b = √77
Logo, o perímetro (ou a soma dos lados) para essa ocasião seria de:
P = 39 +38 +√77
P = 77 +√77 cm

B) Quando h = 40 e a = 39
Aplicando Pitágoras:
40² = 39² +b²
1600 = 1521 +b²
b = √79

Logo, o perímetro para essa ocasião seria de:
P = 40 + 39 + √79
P = 79 +√79 cm

C) Quando h = 41 e a = 40
41² = 40² +b²
1681 = 1600 +b²
b = √81
b = 9

Logo, o perímetro para essa ocasião seria de:
P = 41 +40 +9
P = 90 cm

D) Quando h = 42 e a = 41
42² = 41² + b²
1764 = 1681 +b²
b = √83

Logo, o perímetro para essa ocasião seria de:
P = 42 +41 +√83
P = 83 +√83 cm

E) Quando h = 43 e a = 42
43² = 42² +b²
1849 = 1764 +b²
b = √85

Logo, o perímetro para essa ocasião seria de:
P = 43 +42 +√85
P = 85 +√85 cm

Como a hipotenusa só pode assumir esses valores, você estudou todas as possibilidades do problema, e a única que condiz com o perímetro é a ocasião C, onde o perímetro teria um valor de 90cm, alternativa D.

Todos as outras ocasiões resultariam em um perímetro decimal.

Espero que tenha ajudado, bons estudos!