Question

as medidas em centimetros dos catetos de um triângulo retângulo, sao expressas por 2x-3 e x-4 e a hipotenusa por 3x-11. Nessas condicoes, determine o valor apeoximado da altura relativa à hipotenusa

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{h\approx 4.52~cm}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar de algumas propriedades estudadas no triângulo retângulo.

Seja um triângulo de catetos $2x-3$ e  $x-4$ e hipotenusa $3x-11$. Para encontrarmos o valor aproximado da altura relativa, utilizaremos o Teorema de Pitágoras.

Observe a imagem em anexo: temos um triângulo retângulo de catetos $b$ e $c$ e hipotenusa $a$. O segmento que une o vértice oposto à sua projeção ortogonal nela é a altura relativa à hipotenusa, determinando duas projeções dos catetos dadas por $m$ e $n$.

Veja que os ângulos formados são retos, logo podemos aplicar o teorema de Pitágoras e formar o sistema de equações:

$\begin{cases}b^2=h^2+m^2\\ c^2=h^2+n^2\\\end{cases}$

Sabemos que neste caso, $a=m+n$. Inicialmente, tínhamos que:

$a^2=b^2+c^2$

Substituindo as expressões do sistema, temos

$(m+n)^2=h^2+m^2+h^2+n^2$

Expanda o binômio

$m^2+2mn+n^2=m^2+2h^2+n^2$

Cancelando os termos opostos, temos

$2h^2=2mn$

Divida ambos os lados da equação por $2$

$h^2=mn$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados, assumindo a solução positiva

$h=\sqrt{mn}$

Ainda utilizando este valor no sistema, podemos ver que:

$\begin{cases}b^2=mn+m^2\\ c^2=mn+n^2\\\end{cases}$

Logo, facilmente podemos deduzir que

$\begin{cases}b^2=a\cdot m\\ c^2=a\cdot n\\\end{cases}\\\\\\ a\cdot h = b\cdot c$

Então, utilizemos o teorema de Pitágoras com os valores que foram cedidos inicialmente para descobrirmos o valor de $x$:

$(3x-11)^2=(2x-3)^2+(x-4)^2$

Expanda os binômios

$9x^2-66x+121=4x^2-12x+9+x^2-8x+16$

Some os termos semelhantes

$9x^2-66x+121=5x^2-20x+25$

Subtraindo os termos à direita da equação, igualamos ela a zero:

$4x^2-46x+96=0$

Utilizamos a fórmula resolutiva para calcularmos as soluções

$x=\dfrac{-(-46)\pm\sqrt{(-46)^2-4\cdot4\cdot 96}}{2\cdot 4}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x=\dfrac{46\pm\sqrt{2116-1536}}{8}$

Some os valores

$x=\dfrac{46\pm\sqrt{580}}{8}$

Decompondo o radical em fatores primos, temos que $580=2^2\cdot 5\cdot 29$, logo

$x=\dfrac{46\pm2\sqrt{145}}{8}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{46-2\sqrt{145}}{8}~~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{46+2\sqrt{145}}{8}$

Simplifique as frações

$x=\dfrac{23-\sqrt{145}}{4}~~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{23+\sqrt{145}}{4}$

Assumimos somente a solução positiva, logo

$x=\dfrac{23+\sqrt{145}}{4}$

Dessa forma, a medida dos catetos serão, respectivamente, $b=\dfrac{17+\sqrt{145}}{2}$ e $c=\dfrac{7+\sqrt{145}}{4}$ e a hipotenusa $a=\dfrac{25+3\sqrt{145}}{4}$.

Utilizando estes valores na fórmula discutida acima, teremos

$\dfrac{25+3\sqrt{145}}{4}\cdot h=\dfrac{17+\sqrt{145}}{2}\cdot\dfrac{7+\sqrt{145}}{4}$

Multiplique os valores

$\dfrac{25+3\sqrt{145}}{4}\cdot h=\dfrac{264+24\sqrt{145}}{8}$

Simplifique a fração à direita

$\dfrac{25+3\sqrt{145}}{4}\cdot h=33+3\sqrt{145}$

Isole $h$

$h=\dfrac{33+3\sqrt{145}}{\left(\dfrac{25+3\sqrt{145}}{4}\right)}$

Calcule a fração de frações

$h=\dfrac{132+12\sqrt{145}}{25+3\sqrt{145}}$

Racionalize o denominador

$h=\dfrac{132+12\sqrt{145}}{25+3\sqrt{145}}\cdot\dfrac{25-3\sqrt{145}}{25-3\sqrt{145}}\\\\\\ h=\dfrac{-1920 - 96\sqrt{145}}{-680}$

Simplifique a fração

$h=\dfrac{240 +12\sqrt{145}}{85}$

Utilizando a aproximação $\sqrt{145}\approx 12.04$, teremos

$h\approx\dfrac{240 +12\cdot12.04}{85}\\\\\\ h\approx\dfrac{240 +144.48}{85}\\\\\\ h\approx\dfrac{384.48}{85}\\\\\\ h\approx 4.52~cm$

Esta é a aproximação para a altura relativa à hipotenusa deste triângulo.