Question

As medidas dos lados de um triângulo retângulo são expressas em ordem crescente por x-4, 2x-6 e 3x-14. Determine:
a) O valor da medida da hipotenusa desse triangulo;
b) o perimetro do triangulo;
c)As medidas dos lados desse triangulo não formam uma PA. Considere um triangulo retangulo em que o maior cateto mede 12 e cujas medidas dos lados formam uma PA. Quais são essas medidas?

Answer 1

x+1, 2x  e x²- 5

(2x) - (x+1) = (x²-5) - (2x)

2x - x -1 = x² - 5 -2x

x -1 = x² -5 -2x

x +2x = x² - 5 +1

3x = x² -4

x² -3x -4 = 0

bhaskára:

x = [4;-1]

Usando o valor positivo (4)

2x = 
2 . 4 = 
8

x+1 = 
4+1 = 
5

x² - 5 = 
4² - 5 = 
16 - 5 = 
11

agora

8 + 5 + 11 = 
24

Answer 2

Resposta:

a) 13

b) 30

c) hipotenusa=15, cateto_a=12 e cateto_b=9

Explicação passo-a-passo:

a)

Temos um triângulo retângulo e o seu maior lado é a hipotenusa que corresponde a 3x-14. Lembre-se as medidas estão em ordem crescente.

Teorema de Pitágoras

hipotenusa²=cateto_a²+cateto_b²

(3x-14)²=(x-4)²+(2x-6)²

9x²-84x+196=(x²-8x+16)+(4x²-24x+36)

4x²-52x+144=0 (÷4)

x²-13x+36=0

$Aplicando~a~f\'{o}rmula~de~Bhaskara~para~x^{2}-13x+36=0~~\\e~comparando~com~(a)x^{2}+(b)x+(c)=0,~temos~a=1{;}~b=-13~e~c=36\\\\\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(-13)^{2}-4(1)(36)=169-(144)=25\\\\x^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-13)-\sqrt{25}}{2(1)}=\frac{13-5}{2}=\frac{8}{2}=4\\\\x^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-13)+\sqrt{25}}{2(1)}=\frac{13+5}{2}=\frac{18}{2}=9\\\\S=\{4,~9\}$

Para x=4

hipotenusa=3x-14=3*4-14=12-14=-2 (não existe medida negativa - descartar o x=4)

Para x=9

hipotenusa=3x-14=3*9-14=27-14=13

cateto_a=x-4=9-4=5

cateto_b=2x-6=2*9-6=18-6=12

As medidas do triângulo retângulo em ordem crescente são 5,12 e 13.

b)

O perímetro (p) é a soma de todos os lados de uma figura geométrica.

p=13+5+12=30

c)

Pa={12-r,12,12+r} onde r é a razão da PA

hipotenusa=12+r

cateto_a=12

cateto_b=12-r

Teorema de Pitágoras

hipotenusa²=cateto_a²+cateto_b²

(12+r)²=12²+(12-r)²

144+24r+r²=144+(144-24r+r²)

48r=144

r=144/48=3

hipotenusa=12+3=15

cateto_a=12

cateto_b=12-r=12-3=9

PA={9,12,15}, com r=3