Question

As medidas dos lados de um triângulo retângulo da figura são números naturais. O valor de y . x é:

Se puderem me mostrar a resolução deste exercício ficarei grato!

Answer 1

Resposta:

e) 3660

Explicação passo-a-passo:

Utilizando o Teorema de Kou-ku, teremos que:

$x^2=11^2+y^2\ \therefore\ x^2-y^2=121\\\\ \text{Sabemos que}\ x^2-y^2=(x-y)(x+y)\text{, logo:}\\\\ (x-y)(x+y)=121\ \therefore\ (x-y)=\dfrac{121}{(x+y)}$

Como x e y são números naturais, sabemos que:

$(x;y)\in\mathbb{N}\ \therefore\ (x-y;x+y)\in\mathbb{N}\text{, se}\ x>y.$

Assim, sabemos que (x + y) é um número natural, portanto inteiro, e divisor de 121. Os únicos divisores inteiros de 121 são 1, 11 e 121.

Se x + y = 11, teremos que:

$x-y=\dfrac{121}{11}=11\ \therefore\ x-y=11\ \therefore\ x=11+y\ \therefore\\\\ \therefore\ x+y=11\ \therefore\ 11+y+y=11\ \therefore\ 2y=0\ \therefore\ y=0$

O que é impossível, pois $y>0$. Logo, resta uma única opção:

$x+y=121\ \therefore\ \\\\ x-y=\dfrac{121}{121}\ \therefore\ x-y=1$

Temos um sistema linear com duas incógnitas e duas equações:

$\left \bigg\{ {{x+y=121\ \text{(I)}} \bi\atop {x-y=1\ \text{(II)}}} \right.$

Somando as duas equações, teremos:

$(I)+(II)\\\\ (x+y)+(x-y)=121+1\ \therefore\ 2x=122\ \therefore\ x=61\\\\ x+y=121\ \therefore\ y=121-x=121-61\ \therefore\ y=60$

Os valores de x e y são, respectivamente, 61 e 60. Assim:

$x\times y =61\times60\ \therefore\ x\times y=3660$

Letra E.