Question

As medidas dos lados de um triângulo expressas por x+1, 2x e x²-5 nessa ordem em PA. Calcule o perímetro do triângulo.

Answer 1

E aí Victor,

se os lados deste triângulo formam nesta ordem uma P.A., podemos aplicar a média aritmética que diz que a metade dos termos extremos é igual ao termo central.

$(a_1,a_2,a_3)~\to~ \dfrac{a_1+a_3}{2}=a_2\\\\ \dfrac{(x+1)+( x^{2} -5)}{2}=2x\\\\ x+1+ x^{2} -5=2*2x\\ x^{2} +x-4=4x\\ x^{2} +x-4-4x=0\\ x^{2} -3x-4=0\\ \Delta=b^2-4ac\\ \Delta=(-3)^2-4*1*(-4)\\ \Delta=9+16\\ \Delta=25\\\\ x= \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}= \dfrac{-(-3)\pm \sqrt{25} }{2*1}= \dfrac{3\pm5}{2}\begin{cases}x'=-1\\ x''=4\end{cases}$

Como não temos medidas negativas, somente x=4 nos serve. Substituindo x na sequência acima, teremos:

$x+1,~2x,~ x^{2} -5\\ 4+1,~2*4,~4^2-5\\ 5,~8,~11$

Sabendo-se que o perímetro de um triângulo é a soma de seus lados, fazemos:

$P_\triangle=a+b+c\\ P_\triangle=5+8+11\\\\ \boxed{P_\triangle=24}$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))