Question

as medidas dos ângulos internos de um quadrilátero formam uma P.A Calcule essas medidas, sabendo que a medida do menor angulo é 21°. A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é uma constante

Answer 1

A soma dos ângulos internos de uma P.A. é igual a $360^{\circ}$. Então, os ângulos internos formam a seguinte sequência:

$\left(21^{\circ},\;x,\;y,\;339^{\circ}-x-y \right )$

Note que a soma destes ângulos é $360^{\circ}$.


Temos também que

$21^{\circ}<x<y<339^{\circ}-x-y$


Como a sequência formada é uma P.A., então as diferenças entre dois termos consecutivos é constante, ou seja

$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}\\ \\ x-21^{\circ}=y-x=\left(339^{\circ}-x-y \right )-y\\ \\ x-21^{\circ}=y-x=339^{\circ}-x-2y$


Temos que resolver a igualdade dupla acima. Isolando $y$ na primeira igualdade e substituindo na segunda igualdade, temos

$x-21^{\circ}=y-x\\ \\ y=x-21^{\circ}+x\\ \\ y=2x-21^{\circ}\\ \\ \\ y-x=339^{\circ}-x-2y\\ \\ \left(2x-21^{\circ} \right )-x=339^{\circ}-x-2\left(2x-21^{\circ} \right )\\ \\ 2x-21^{\circ}-x=339^{\circ}-x-4x+42^{\circ}\\ \\ \\ 2x-x+x+4x=339^{\circ}+42^{\circ}+21^{\circ}\\ \\ 6x=402^{\circ}\\ \\ x=\dfrac{402^{\circ}}{6}\\ \\ \boxed{x=67^{\circ}}\\ \\ \\ y=2\cdot\left(67^{\circ} \right )-21^{\circ}\\ \\ y=134^{\circ}-21^{\circ}\\ \\ \boxed{y=113^{\circ}}$


Por último, temos o ângulo maior que é

$339^{\circ}-x-y\\ \\ =339^{\circ}-67^{\circ}-113^{\circ}\\ \\ =\boxed{159^{\circ}}$


Os ângulos internos deste quadrilátero são:
$\left(21^{\circ},\,67^{\circ},\,113^{\circ},\,159^{\circ} \right )$