Question

As medidas do lado, da diagonal e da área de um quadrado estão em P.A. , nessa ordem. Determine a medida do lado do quadrado.
lado = l
diagonal = l√2
área = l²

Answer 1

Termos:

$a_1=l \\ a_2=l \sqrt{2} \\ a_3=l^2$

Medida do lado:

$a_2= \dfrac{a_1+a_3}{2} \\ \\ \\ l \sqrt{2} = \dfrac{l+l^2}{2} \\ \\ \\ 2l \sqrt{2}=l+l^2 \\ \\ l^2=2l \sqrt{2} -l \\ \\ l^2= l( 2\sqrt{2}-1) \\ \\ \boxed{\boxed{l = 2 \sqrt{2}-1}}$

Nessa condições, a diagonal e a área do quadrado seriam:

$D=l \sqrt{2} \\ \\ D=(2 \sqrt{2}-1) (\sqrt{2}) \\ \\ \boxed{D=4- \sqrt{2}} \\ \\ \\ A=l^2 \\ \\ A=(2 \sqrt{2}-1)^2 \\ \\ \boxed{A=9- 4 \sqrt{2}}$

Logo, os termos são:

$a_1=2 \sqrt{2}-1 \\ \\ a_2 =4- \sqrt{2} \\ \\ a_3=9-4 \sqrt{2}$

Observando o termos, podemos concluir que isso realmente é uma PA, de razão r = 5 - 3√2

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos concluímos que os valores do lado, diagonal e área, são, respectivamente:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Lado = 2\sqrt{2} - 1\:u\cdot c \:\:\:}}\end{gathered} }$

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Diagonal = 4 - \sqrt{2}\:u\cdot c\:\:\:}}\end{gathered} }$

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \acute{A}rea = 9 - 4\sqrt{2}\:u\cdot a\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

               $\Large\begin{cases} lado = l\\diagonal = l\sqrt{2}\\\acute{A}rea = l^{2}\end{cases}$

Deste modo temos a seguinte sequência:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$             $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = (l,\,l\sqrt{2},\,l^{2})\end{gathered}$

Para que esta sequência seja uma progressão aritmética é necessário que ambas razões sem iguais. Além disso sabemos que a razão de uma P.A. é a diferença entre qualquer termo - exceto o primeiro - e seu antecessor imediato, ou seja:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} l^{2} - l\sqrt{2} = l\sqrt{2} - l\end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} l^{2} - l\sqrt{2} - l\sqrt{2} + l = 0\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} l^{2} - 2\sqrt{2}l + l = 0\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} l^{2} - l(2\sqrt{2} - 1) = 0\end{gathered}$

Neste ponto, chegamos a uma equação do segundo grau. Resolvendo esta equação pela técnica de fatoração, temos:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} l\cdot\left[l - (2\sqrt{2} - 1)\right] = 0\end{gathered}$

Neste ponto concluímos que as raízes desta equação são:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} l' = 0\end{gathered}$

                 e

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} l'' - (2\sqrt{2} - 1) = 0\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} l'' - 2\sqrt{2} + 1 = 0\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} l'' = 2\sqrt{2} - 1\end{gathered}$

Portanto, o conjunto solução da referida equação é:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} S = \{0,\,2\sqrt{2} - 1\}\end{gathered} }$

Como o quadrado é uma figura real, a raiz que servirá para os nossos cálculos é:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} l = 2\sqrt{2} - 1\end{gathered}$

Tendo descoberto o valor do lado, podemos calcular o valor da diagonal e da área. Então temos:

• Cálculo da medida da diagonal:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} d = l\sqrt{2} = (2\sqrt{2} - 1)\cdot\sqrt{2} = 4 - \sqrt{2}\end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:d = 4 - \sqrt{2}\end{gathered}$

• Cálculo da medida da área:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} A = l^{2} = (2\sqrt{2} - 1)^{2} = 9 - 4\sqrt{2}\end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:A = 9 - 4\sqrt{2}\end{gathered}$

Uma vez tendo obtido os valores do lado, diagonal e área, podemos reescrever a sequência "I". Então temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$           $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = (2\sqrt{2} - 1,\,4 - \sqrt{2},\,9 - 4\sqrt{2})\end{gathered}$

Calculando o valor das razões:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} r_{1} = 4 - \sqrt{2} - (2\sqrt{2 - 1})\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 4 - \sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 1\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 5 - 3\sqrt{2}\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:r_{1} = 5 - 3\sqrt{2}\end{gathered}$

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} r_{2} = 9 - 4\sqrt{2} - (4 - \sqrt{2})\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 9 - 4\sqrt{2} - 4 + \sqrt{2}\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 5 - 3\sqrt{2}\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:r_{2} = 5 - 3\sqrt{2}\end{gathered}$

Se:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} r_{1} = r_{2}\end{gathered}$

Então, a referida sequência "II", de fato é uma P.A. então ela pode ser escrita como:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} P.A.(2\sqrt{2} - 1,\,4-\sqrt{2},\,9-4\sqrt{2})\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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