Question

As matrizes quadradas têm muita importância, pois, por meio delas, são calculados os determinantes que podem ser usados no estudo de sistemas lineares. Os determinantes também possuem certas propriedades que podem nos ajudar quando fazemos álgebras um pouco mais complicadas.

Ao usar o conceito de propriedades de matrizes, analise as afirmativas a seguir:

I. Quando uma linha ou coluna de uma matriz for nula, o determinante será zero.
II. Caso ocorra a igualdade entre uma linha e coluna, o determinante será zero.
III. Se duas linhas ou colunas têm valores proporcionais, o determinante será zero.
IV. Se multiplicamos os elementos de uma linha ou coluna por uma constante C, o seu determinante será dividido por c.

Está correto o que se afirma em:

Answer 1

Usando as propriedades de determinantes de uma matriz, obtém-se:

I - III  Verdadeiras

Análise de cada afirmação:

I. Quando uma linha ou coluna de uma matriz for nula, o determinante será zero.

Verdadeiro

$\left[\begin{array}{ccc}0&2\\0&5\end{array}\right]\\\\\\Determinante~=~0\cdot 5 - 2\cdot 0=0$  

II. Caso ocorra a igualdade entre uma linha e coluna, o determinante será zero.

Falso

Neste caso a primeira linha é [ 0  2 ] é igual à primeira coluna :

$\left[\begin{array}{ccc}0&2\\2&5\end{array}\right]\\\\\\Determinante~=~0\cdot 5 - 2\cdot 2=-~4~\neq~0$

 

III. Se duas linhas ou colunas têm valores proporcionais, o determinante será zero.

Verdadeiro.

No caso apresentado a segunda coluna é o dobro ( 2 vezes ) da primeira coluna :

$\left[\begin{array}{ccc}1&2\\3&6\end{array}\right]\\\\\\Determinante~=~1\cdot 6 - 2\cdot 3=~1\cdot6-2\cdot 3=~6-6=~0$

IV. Se multiplicamos os elementos de uma linha ou coluna por uma constante C, o seu determinante será dividido por c.

Falso

$\left[\begin{array}{ccc}5&8\\3&6\end{array}\right]~= 5\cdot6-8\cdot3~=~30-24=6$

Multiplicando a primeira coluna por 3

$\left[\begin{array}{ccc}5&8\\3&6\end{array}\right]\\~\\\\\left[\begin{array}{ccc}5\cdot 3&8\\3\cdot 3&6\end{array}\right]\\~\\\\\left[\begin{array}{ccc}15&8\\9&6\end{array}\right]\\\\~\\Determinante~=~15\cdot 6 - 8\cdot 9~=90~-~72~=~18$

O novo determinante é o triplo do primeiro.

Não é a dividir por 3.

Exemplo de matrizes quadradas. Aquelas em que o número de linhas é igual ao número de colunas.

Matriz quadrada com três linhas e três colunas

$\left[\begin{array}{ccc}5&2&2\\9&5&6\\7&8&10\end{array}\right]$

Matriz quadrada com duas linhas e duas colunas

$\left[\begin{array}{ccc}5&8\\3&6\end{array}\right]$

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Bons estudos.

Att  Duarte Morgado

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$(\cdot)$  multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.