Question

As interseções entre a circunferência x²+y²-6x+2y+5=0 e a reta 3x-y-5=0 determinam dois pontos A e B. A equação da reta mediatriz do segmento AB é:


a)x-3y=0

b)x+3y+1=0

c)x+y-3=0

d)x+3y=0

e)x+3y-1=0

Answer 1

1º Vamos achar as interseções isolando o y da reta e substituindo na equação da circunferência para achar as interseções em X.

2º Com os dois valores de x, vamos substituí-los no Y da reta que isolamos.  Com esses valores de X e Y acharemos os pontos A e B.

A questão pede a equação da reta mediatriz ao segmento AB. A reta mediatriz é perpendicular ao segmento e ela passa no ponto médio, ou seja :

Retas perpendiculares - Quando multiplicamos os coeficientes angulares delas tem que dar -1

Ponto médio de um segmento - Média aritmética dos pontos em x e em y

3º Achar o coeficiente angular do segmento AB fazendo $\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}$, multiplicar pelo coef. angular da reta mediatriz e  igualar a -1

4º Achar o ponto médio do segmento AB

5º Aplicar a equação da reta $\displaystyle y-y_o = m.(x-x_o)$  

Então vamos lá !

1º

$\displaystyle \left \{ {{(x-3)^2+(y+1)^2=5} \atop {3x-y-5=0}} \right.$

(obs: só deixei a eq da circunferência reduzida.)

$y = 3x - 5$

substituindo na equação da circunferência :

$(x-3)^2+(3x-5+1)^2 = 5 =0 \to (x-3)^2 + (3x-4)^2 = 5$  

$x^2-6x+9+9x^2-24x+16 - 5 = 0$

$10x^2-30x +20 =0 \to x^2 + 3x +2 = 0$

$\displaystyle x = \frac{3\pm \sqrt{9-4.2}}{2.1} \to x = \frac{3\pm1}{2}$

$\fbox{x = 2} \ e \ \fbox{x = 1}$

2º

Substituindo os valores de x no Y da reta:

$x=2 \to y = 3.2 - 5 \to \fbox{y = 1}$

e

$x = 1 \to y = 3.1 - 5 \to \fbox{y =\ -2 }$

Portanto nossos pontos:

$A (2,1) \ e \ B(1,-2)$

3º

Achando o coeficiente do segmento AB $(m_{AB})$ :

$\displaystyle m_{AB} = \frac{-2-1}{1-2} \to \fbox{m_{AB} = 3 }$

Coeficiente da reta mediatriz $(m_r)$ :

$m_{r}.m_{AB} = -1 \to m_r.3 = -1 \to \fbox{\displaystyle m_r =-\frac{1}{3} }$  

4º

Ponto médio do segmento AB $(M_{AB})$:

$A (2,1) \ e \ B(1,-2)$

$\displaystyle m_{AB} = (\frac{1+2}{2},\frac{1-2}{2}) \to \fbox{\displaystyle M_{AB} = (\frac{3}{2},\frac{-1}{2}) }$

5º

equação da reta mediatriz que passa pelo ponto $\displaystyle M_{AB} = \frac{3}{2}, \frac{-1}{2}$

$\displaystyle y -(\frac{-1}{2}) = \frac{-1}{3}(x-\frac{3}{2})$

$\displaystyle 2y + 1 = \frac{-2x}{3} + 1 \to 2y + \frac{2x}{3} = 0$

multiplicando todos por 3 :

$6y + 2x = 0$

simplificando todos por 2 :

$\fbox{\displaystyle x+3y = 0 }$

Letra d