Question

As integrais de linha são integrais definidas para caminhos que correspondem a uma curva parametrizada e, por isso, os cálculos padrões dessas integrais costumam envolver vetores.
Considere a curva dada por:
Alternativas
Alternativa 1:
I e II, apenas.

Alternativa 2:
II e III, apenas.

Alternativa 3:
I e III, apenas.

Alternativa 4:
I, II e III

Alternativa 5:
III,apenas.

Answer 1

Utilizando integral de linha temos, que somente as afirmações II e III estão corretas, Alternativa 2.

Explicação passo-a-passo:

As integrais de linha de uma função f(x,y) sobre uma curva S parametrizada por r(x(t),y(t)), podem ser calculadas da seguinte forma:

$\int_S f(x,y)\cdot ds=\int_{t_0}^{t_f}f(r(t))|r'(t)|dt$

Fazendo os modulo da nossa curva parametrizada, temos que:

$\int_{0}^{1}f(r(t))\sqrt{\left(\frac{dr_x}{dt}\right)^2+\left(\frac{dr_y}{dt}\right)^2}dt$

$\frac{dr_x}{dt}=2$

$\frac{dr_t}{dt}=1$

Ficando com:

$\int_{0}^{1}f(r(t))\sqrt{2^2+1^2}dt$

$\int_{0}^{1}f(r(t))\sqrt{5}dt$

$\sqrt{5}\int_{0}^{1}f(r(t))dt$

E essa é a forma geral da nossa integral de massa desta linha, agora basta substituir f(r(t)) pela função que queremos.

Com isso podemos ir as alternativas:

1 - Usando a definição de integral de linha de primeira especie, a integral que representa a massa do cabo é: $\sqrt{3}\int_{0}^{1} t.dt$.

Falso. Vamos verificar substituindo a nossa função densidade no nosso ansatz acima:

$\sqrt{5}\int_{0}^{1}f(r(t))dt$

$\sqrt{5}\int_{0}^{1} x.y.dt$

Substituindo x e y pela parametrização da curva:

$\sqrt{5}\int_{0}^{1} 2t.t.dt$

$2\sqrt{5}\int_{0}^{1} t^2.dt$

E esta é a integral da massa do cabo, que é diferente da do enunciado.

2 - A massa do cabo é de $\frac{2\sqrt{5}}{3}$.

Verdadeiro. Basta continuarmos a integral acima:

$2\sqrt{5}\int_{0}^{1} t^2.dt$

$2\sqrt{5}\left(\frac{t^3}{3}\right)_{0}^{1}$

$2\sqrt{5}\left(\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}\right)$

$2\sqrt{5}\left(\frac{1}{3}\right)$

$\frac{2\sqrt{5}}{3}$

Assim temos que de fato este é o valor da massa do cabo.

3 - Se a densidade do cabo fosse $\delta(x,y)=x$, a massa do cabo seria de $\sqrt{5}$.

Verdadeiro. Vamos verificar substituindo esta nova função no nosso ansatz:

$\sqrt{5}\int_{0}^{1}f(r(t))dt$

$\sqrt{5}\int_{0}^{1} x.dt$

Substituindo x pela parametrização da reta:

$\sqrt{5}\int_{0}^{1} 2t.dt$

$2\sqrt{5}\int_{0}^{1} t.dt$

Integrando esta função, temos que:

$2\sqrt{5}\int_{0}^{1} t.dt$

$2\sqrt{5}\left(\frac{t^2}{2}\right)_{0}^{1}$

$2\sqrt{5}\left(\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}\right)$

$2\sqrt{5}\left(\frac{1}{2}\right)$

$\frac{2\sqrt{5}}{2}$

$\sqrt{5}$

Assim de fato temos que a massa deste cabo seria de $\sqrt{5}$.