Question

As integrais de linha podem ser interpretadas em contextos envolvendo superfícies e suas fronteiras, em que a sua aplicação presume um campo vetorial F definido em uma região R, que pode ser interpretado como um campo de velocidades de um fluido que escoa, e uma curva C que está na região. Posto isso, a integral de linha F ao longo de C mede a tendência de o fluído circular ou rodar em torno de C.

Considere o campo vetorial F em R^2 dado por F (x,y) = (3X+Y, 2X-3Y) e que C é a curva da equação y = x^2, com 0 menor igual a x menor igual a 1.

Considerando as informações apresentadas, faça o que se pede nos itens a seguir:

a) Exiba uma parametrização da curva C.

b) Calcule a integral de linha de F ao longo da curva C.

Answer 1

A imagem da curva  C  é um arco de parábola, descrita a seguir:

     $\mathrm{Im}(C)=\{(x,\,y)\in \mathbb{R}^2:~~y=x^2,~~0\le x\le 1\}$

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a)  Considerando que a curva tenha orientação positiva, uma parametrização bem simples para esta curva seria

     $C:~~\left\{\begin{array}{l}x=t\\\\ y=t^2 \end{array}\right.\qquad 0\le t\le 1.$

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b)

     •   Campo vetorial:

          $\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y)=\left\langle 3x+y,\,2x-3y \right\rangle$


     •   Vetor tangente à curva:

          $C'(t)=\left\langle x'(t),\,y'(t)\right\rangle\\\\ C'(t)=\left\langle (t)',\,(t^2)'\right\rangle\\\\ C'(t)=\left\langle 1,\,2t \right\rangle,\qquad \textsf{com~~}0\le t\le 1.$


O valor da integral de linha do campo  $\overrightarrow{\mathbf{F}}$  sobre a curva  C  é

     $\displaystyle\int_C \overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}\\\\\\ =\int_0^1 \overrightarrow{\mathbf{F}}\Big(x(t),\,y(t)\Big)\cdot C'(t)\,dt\\\\\\ =\int_0^1 \overrightarrow{\mathbf{F}}(t,\,t^2)\cdot \left\langle 1,\,2t\right\rangle dt\\\\\\ =\int_0^1 \left\langle 3t+t^2,\,2t-3t^2 \right\rangle\cdot \left\langle 1,\,2t\right\rangle dt$

     $\displaystyle=\int_0^1 \Big[(3t+t^2)\cdot 1+(2t-3t^2)\cdot 2t\Big]dt\\\\\\ =\int_0^1 \Big[3t+t^2+4t^2-6t^3\Big]dt\\\\\\ =\int_0^1 \Big[-6t^3+5t^2+3t\Big]dt$

     $=\left(-6\,\dfrac{t^{3+1}}{3+1}+5\,\dfrac{t^{2+1}}{2+1}+3\,\dfrac{t^{1+1}}{1+1}\right)\bigg|_0^1\\\\\\ =\left(-6\,\dfrac{t^4}{4}+5\,\dfrac{t^3}{3}+3\,\dfrac{t^2}{2}\right)\bigg|_0^1$

     $=\left(-6\,\dfrac{1^4}{4}+5\,\dfrac{1^3}{3}+3\,\dfrac{1^2}{2}\right)-\left(-6\,\dfrac{0^4}{4}+5\,\dfrac{0^3}{3}+3\,\dfrac{0^2}{2}\right)$

     $=\left(-\,\dfrac{6}{4}+\dfrac{5}{3}+\dfrac{3}{2}\right)-0\\\\\\ =-\,\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{3}+\dfrac{3}{2}\\\\\\ =\dfrac{5}{3}$


     $\boxed{\begin{array}{c} \displaystyle\int_C \overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}\end{array}=\frac{5}{3}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$


Bons estudos! :-)