Question

As integrais de linha podem ser encontradas em inúmeras aplicações nas Ciências Exatas, como por exemplo, no cálculo da massa de um fio através da sua densidade e do seu comprimento. Considere uma chapa de aço cuja circunferência é determinada através da função X² + Y² = 1 (X ᵟ≥ 0) cuja densidade é descrita por:
(X, Y) = 2 + X²Y
Qual é a massa que essa chapa terá:

Answer 1

Utilizando integral de superficie, temos que esta chapa tem massa igual a 2π.

Explicação passo-a-passo:

Para fazermos uma integral de superficie que definirmos a massa de uma chapa, basta integrarmos a densidade ao longo de toda a área da chapa.

Vemos que se a área da chapa é definida pela equação $x^2+y^2=1$, isto significa que iremos integrar ao longo de um circulo de raio 1:

$M=\int_{A}d(x,y)\, dA$

Assim substituindo nossa densidade, e a área já pelas coordenadas em forma polar, temos que:

$x=r\,cos(\theta)$

$y=r\,sen(\theta)$

$M=\int_{A}d(x,y)\, dA$

$M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(2+x^2y)r\, dr\, d\theta$

$M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(2+r^3cos^3(\theta)sen(\theta))r\, dr\, d\theta$

$M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(2r+r^4cos^3(\theta)sen(\theta))\, dr\, d\theta$

Integrando primeiramente no raio, temos que:

$M=\int_{0}^{2\pi}\left[r^2+\frac{1}{5}r^5cos^3(\theta)sen(\theta)\right]_{0}^{1}\, d\theta$

$M=\int_{0}^{2\pi}\left[1+\frac{1}{5}cos^3(\theta)sen(\theta)\right]\, d\theta$

$M=\int_{0}^{2\pi}\,\left(1+\frac{1}{5}cos^3(\theta)sen(\theta)\right)\, d\theta$

Agora basta integramos no angulo, onde vamos separar em duas integrais:

$M=\int_{0}^{2\pi}\, 1\, d\theta +\int_{0}^{2\pi}\,\frac{1}{5}cos^3(\theta)sen(\theta)\, d\theta$

A primeira integral é trivial, então podemos substituir pelo seu resultado:

$M=2\pi +\int_{0}^{2\pi}\,\frac{1}{5}cos^3(\theta)sen(\theta)\, d\theta$

Para a segundo integral vamos fazer a seguinte substituição:

$cos(\theta)=t$

$-sen(\theta)\,d\theta=dt$

Ficando com:

$M=2\pi -\int_{0}^{2\pi}\,\frac{1}{5}t^3\, dt$

Que é uma integral simples de se resolver:

$M=2\pi -\int_{0}^{2\pi}\,\frac{1}{5}t^3\, dt$

$M=2\pi -\left[\frac{1}{20}t^4\right]_{0}^{2\pi}$

Voltando a coordenada anterior:

$M=2\pi -\left[\frac{1}{20}cos^4(\theta)\right]_{0}^{2\pi}$

$M=2\pi -\frac{1}{20}\left[cos^4(2\pi)-cos^4(0)\right]_{0}^{2\pi}$

$M=2\pi -\frac{1}{20}\left[1-1\right]_{0}^{2\pi}$

$M=2\pi -\frac{1}{20}\left[0\right]_{0}^{2\pi}$

$M=2\pi - 0$

$M=2\pi$

Assim temos que esta chapa tem massa igual a 2π.