Question

As integrais de linha podem ser encontradas em inúmeras aplicações nas Ciências Exatas, como por exemplo, no cálculo da massa de um fio através da sua densidade e do seu comprimento. Suponha que um determinado fio possua uma função que o defina como cujo seu comprimento é limitado pelos pontos (0,0) e (1,1/2). Considerando que a densidade desse determinado fio seja dado por:

​a massa desse fio é:

Answer 1

Utilizando integrais de linha e integrais por partes, temos que a massa deste fio é de $M=\frac{\sqrt{2}+1}{15}$.

Explicação passo-a-passo:

Para calcularmos integrais de linha, temos a seguinte forma geral:

$I=\int_{C}\,f(x(t),y(t))\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\, dt$

Onde C é a curva parametrizada pelo parametro t.

Assim parametrizando nossa curva, temos que:

$x=t$

$y=\frac{t^2}{2}$

Assim esta derivadas da curva ficam:

$\frac{dx}{dt}=1$

$\frac{dy}{dt}=t$

Substituindo na integral:

$I=\int_{C}\,f(x(t),y(t))\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\, dt$

$I=\int_{C}\,xy\sqrt{\left(1\right)^2+\left(t\right)^2}\, dt$

$I=\int_{0}^{1}\,t.\frac{t^2}{2}\sqrt{1+t^2}\, dt$

$I=\int_{0}^{1}\,\frac{t^3}{2}\sqrt{1+t^2}\, dt$

Fazendo esta integral por partes tomando:

$u=\frac{t^2}{2}$

$dv=t\sqrt{1+t^2}\, dt$

Ficamos com:

$I=\left[\frac{1}{3}\frac{t^2}{2}(1+t^2)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\,\frac{t}{3}(1+t^2)^{\frac{3}{2}}\, dt$

$I=\left[\frac{\sqrt{2}}{3}\right]-\int_{0}^{1}\,\frac{t}{3}(1+t^2)^{\frac{3}{2}}\, dt$

$I=\left[\frac{\sqrt{2}}{3}\right]-\left[\frac{1}{15}(1+t^2)^{\frac{5}{2}}\right]_{0}^{1}$

$I=\left[\frac{\sqrt{2}}{3}\right]-\left[\frac{4\sqrt{2}}{15}-\frac{1}{15}\right]$

$I=\frac{\sqrt{2}}{3}-\frac{4\sqrt{2}-1}{15}$

$I=\frac{5\sqrt{2}}{16}-\frac{4\sqrt{2}-1}{15}$

$I=\frac{\sqrt{2}+1}{15}$

Assim temos que a massa deste fio é de $M=\frac{\sqrt{2}+1}{15}$.