Question

As imagens de uma tela plana de um dispositivo digital são representadas por pontos, chamados de pixels. Os movimentos das imagens correspondem às mudanças desses pontos representados em um sistema cartesiano ortogonal (plano XY), que, em computação gráfica, são realizadas por operações de matrizes. Uma rotação de θ graus de um ponto (x, y), no sentido anti-horário e em torno da origem desse sistema (0,0), é feita pela multiplicação da matriz M dada por pela matriz A, gerando uma matriz A’ que dá (x’,y’), a nova posição do ponto (x, y) após a rotação. Considere o ponto cuja posição seja (2,3), no qual irá se aplicar uma rotação de θ = 30° no sentido anti-horário e em torno da origem do sistema cartesiano ortogonal. Dado: ​Para esse problema: a) Apresente a classificação das matrizes M e A, de acordo com as categorias presentes no livro (quadrada, nula, linha, coluna, diagonal, identidade, triangular superior e triangular inferior). b) Qual a nova posição (x’, y’) após a rotação?As imagens de uma tela plana de um dispositivo digital são representadas por pontos, chamados de pixels. Os movimentos das imagens correspondem às mudanças desses pontos representados em um sistema cartesiano ortogonal (plano XY), que, em computação gráfica, são realizadas por operações de matrizes. Uma rotação de θ graus de um ponto (x, y), no sentido anti-horário e em torno da origem desse sistema (0,0), é feita pela multiplicação da matriz M dada por pela matriz A, gerando uma matriz A’ que dá (x’,y’), a nova posição do ponto (x, y) após a rotação. Considere o ponto cuja posição seja (2,3), no qual irá se aplicar uma rotação de θ = 30° no sentido anti-horário e em torno da origem do sistema cartesiano ortogonal. Dado:

Answer 1

Em álgebra linear, a relação existente entre as coordenadas do plano cartesiano rotacionado e do plano cartesiano original é dada pela equação:

x' = x.cos(θ) - y.sen(θ)

y' = x.sen(θ) + y.cos(θ)

a) A matriz associada a essa transformação linear é quadrada (2x2).

b) No caso em questão, para uma rotação de 30º e considerando x = 2 e y = 3, as coordenadas x' e y' associadas a esse ponto, calculamos:

x' = 2.(√3/2) - 3.(1/2) ⇒ x' = √3 - 3/2

y' = 2.(1/2) + 3.(√3/2) ⇒ y' = 1 + 3√3/2

Como visto, apenas substituímos os valores na equação associada.