Question

As imagens de uma tela plana de um dispositivo digital são representadas por pontos, chamados de pixels. Os movimentos das imagens correspondem às mudanças desses pontos representados em um sistema cartesiano ortogonal (plano XY), que, em computação gráfica, são realizadas por operações de matrizes. Uma rotação de θ graus de um ponto (x, y), no sentido anti-horário e em torno da origem desse sistema (0,0), é feita pela multiplicação da matriz M dada por pela matriz A, gerando uma matriz A’ que dá (x’,y’), a nova posição do ponto (x, y) após a rotação. Considere o ponto cuja posição seja (2,3), no qual irá se aplicar uma rotação de θ = 30° no sentido anti-horário e em torno da origem do sistema cartesiano ortogonal. Dado: ​Para esse problema: a) Apresente a classificação das matrizes M e A, de acordo com as categorias presentes no livro (quadrada, nula, linha, coluna, diagonal, identidade, triangular superior e triangular inferior). b) Qual a nova posição (x’, y’) após a rotação? M=M 2x2 = ( cos O - sen O ) ——————( sen O cos O ) A=A 2x1 = ( 2 ) —————- ( 3 ) A’= A’2x1 ( x’) —————( y’) A’ = M.A

Answer 1

a) As matrizes são classificadas como:

• M, matriz quadrada, porque o número de linhas é igual ao número de colunas.

• N, matriz coluna, porque é do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna.

b) A nova posição após a rotação é: x' = 0,23 e y' = 3,59.

Para achar a nova posição primeiro devemos procurar o valor do seno e coseno de 30°, que são achados nas tabelas padrão. Assim temos:

• Sen 30° = 0,5.
• Cos 30° = 0,866025403.

Agora somente devemos fazer o produto de matrizes da seguinte maneira:

Onde:

M:

$M_{2x2} = \left[\begin{array}{cc}cos \theta&- sen \theta\\cos\theta &sen \theta\\\end{array}\right]$

A:

$A_{2x1} = \left[\begin{array}{cc}2\\3\\\end{array}\right]$

Multiplicamos as matrizes:

$M_{2x2} * A_{2x1} = \left[\begin{array}{cc}cos \theta&- sen \theta\\cos\theta &sen \theta\\\end{array}\right] \;*\; \left[\begin{array}{cc}2\\3\\\end{array}\right]$

Substituimos os dados:

$M *A= \left[\begin{array}{cc} 0,866025403&- 0,5\\0,5 &0,866025403\\\end{array}\right] \;*\; \left[\begin{array}{cc}2\\3\\\end{array}\right]$

As multiplicações são de forma linear:

$M * A= \left[\begin{array}{cc} 0,866025403\;*2&+\;\;(- 0,5)\;*3\\0,5\;*2 &+\;\;0,866025403\;*3\\\end{array}\right]$

$M * A= \left[\begin{array}{cc} 1,732050808&+\;\;(- 1,5)\\1&+\;\;2,598076209\\\end{array}\right]$

$M * A = \left[\begin{array}{cc} 0,232050807\\3,598076209\\\end{array}\right]$

Simplificando temos a nova posição:

$\boxed{M * A = \left[\begin{array}{cc} 0,23\\3,59\\\end{array}\right]}$

$\boxed{x'= 0,23}\\\\\boxed{y'= 3,59}$