Question

As funçoes reais f e g são tais que f(x)= 3x-2 e g(x) = x^2 +4x. O valor de g[f^-1 (3)] é?

Answer 1

Primeiros vamos organizar essas funções:

$\begin{cases} \sf f(x) = 3x - 2 \\ \sf g(x) = x {}^{2} + 4x \end{cases}$

Note que a questão pergunta $\sf g(f^{-1}(3))$, portanto temos que encontrar a função inversa de f(x), então vamos começar por isso.

A função f(x) é dada por:

$\sf f(x) = 3x - 2$

Primeiro troque "f(x)" por "y":

$\sf y = 3x - 2$

Agora onde tiver "y" coloque "x" e onde tiver "x" coloque "y":

$\sf x = 3y - 2$

Por fim devemos isolar o "y":

$\sf x = 3y - 2 \\ \sf x + 2 = 3y \\ \sf y = \frac{x + 2}{3}$

Essa é a função inversa, mas para identificar que é inversa, devemos substituir "y" pelo símbolo da mesma:

$\sf y = \frac{x + 2}{3} \\ \\ \boxed{\sf f { }^{ - 1} (x) = \frac{ x+ 2}{3} }$

Vamos calcular a inversa de f(x) quando "x" é 3:

$\sf f {}^{ - 1} (3) \\ \\ \sf f {}^{ - 1} (x) = \frac{x + 2}{3} \\ \sf f {}^{ - 1} (3) = \frac{3 + 2}{3} \\ \boxed{\sf f {}^{ - 1} (3) = \frac{5}{3} }$

Agora substitua esse valor dentro de g(x):

$\sf g(x) = x {}^{2} + 4x \\ \\ \sf g( \frac{5}{3} ) = ( \frac{5}{3} ) {}^{2} + \frac{5}{3} .4 \\ \\ \sf g( \frac{5}{3} ) = \frac{25}{9} + \frac{20}{3} \\ \\ \sf g( \frac{5}{3} ) = \frac{75 + 180}{27} \\ \\ \boxed{\sf g( \frac{5}{3} ) = \frac{255}{27} }$

Espero ter ajudado