Question

As funções reais de variáveis reais f e g estão representadas abaixo, no mesmo sistema de eixos cartesianos, sendo 0 e 4 os zeros da função quadrática f, e g uma função linear que intersecta o gráfico de f nos pontos (0,0) e (3, 6). Seja S a região do plano (sombreada) constituída de todos os pontos que estão abaixo do gráfico de f e acima do gráfico de g. Determine:
a) a função f
b) a área da região S

Answer 1

a) Como a função f possui como raízes os pontos (0,0) e (4,0), então podemos dizer que:

f(x) = a(x - 0)(x - 4)

f(x) = ax(x - 4)

Além disso, de acordo com o gráfico, a parábola passa pelo ponto (3,6). Sendo assim,

3a(3 - 4) = 6

-3a = 6

a = -2.

Portanto, a função f é igual a: f(x) = -2x(x - 4) ∴ f(x) = -2x² + 8x.

b) Perceba que queremos calcular a área abaixo da curva y = -2x² + 8x e acima da curva da função g.

A função g representa uma reta cuja lei de formação é y = 2x.

Para calcular a área sombreada, utilizaremos a integral:

$S = \int\limits^3_0 {-2x^2+8x-2x} \, dx$

$S= \int\limits^3_0 {-2x^2+6x} \, dx$

$S=-\frac{2x^3}{3}+3x^2$

Aplicando os limites de integração:

$S=-\frac{2.3^3}{3}+6.3^2$

S = -18 + 27

S = 9 ua.