Question

As funções quanto ao seu ponto máximo ou mínimo e determinar os intervalos nos quais as
funções a seguir são crescentes ou decrescentes, ponto de inflexão e os intervalos relacionados a sua
concavidade.
a) f(x) = 4x³ − 8x
b) f ( x) = x² − 3x + 8
c) f ( x) = x³ + 2x² − 4x + 2
d) f ( x) = 3x² + 6x +7
e) f ( x) = x³ + 3x² + 1.
f) f(x) = x³ + x² - x -1
Não precisa responder todas so explica como fazer .
Estou com dificuldade de encontrar os números críticos.

Answer 1

Farei somente a letra A pois as outras seguem o mesmo raciocínio.Os numeros criticos (geralmente representado pela letra c) de uma função são aqueles para os quais f'(c)=0 ou não existe f'(c).

então f'(c)=0
(4c³-8c)'=0
12c²-8=0
c=√(2/3) ou c=-√(2/3)

estes sao os números críticos e possíveis candidatos a maximo e mínimo da função.O teste da primeira derivada garante que se a função for crescente (positiva) para decrescente (negativa) o ponto será de maximo e o oposto se for de mínimo,analisando o sinal de 12c²-8 temos que 

__+___-√(2/3) ___-___√(2/3) ___+___

logo f e crescente para valores menores que -√(2/3) e maiores que √(2/3) ,e decrescente para valores entre -√(2/3)  e √(2/3).
f tera seu ponto maximo em x=-√(2/3)
e ponto de minimo em x=√(2/3) 


para achar o ponto de inflexão derivamos duas vezes f e igualamos a zero

f''(x)=0
24x=0
x=0 logo o ponto de inflexão e (0,f(0))
analisando o sinal de y=24x temos

____-____0_____+_____ 

logo pelo teste da 2 derivada ,para valores menores que zero f e concava para baixo e para valores maiores que zero e concava para cima.