As funções de custo e receita de uma empresa são respectivamente C(q) = q³ – 10q² + 1156q e R(q) = -2q³ + 8q² + 2500q, onde a variável "q" representa a quantidade de unidades do produto fabricado pela empresa e a s funções Receita e o Custo são representadas em unidades monetárias, por exemplo reais (R$). Determine o que se pede:
a) A função Lucro;
b) As funções custo marginal, receita marginal e lucro marginal;
c) O(s) ponto(s) crítico(s) da função lucro;
d) O(s) ponto(s) máximo(s) e mínimo(s) locais da função lucro
e) O intervalo onde a função lucro é positiva e crescente;
f) O intervalo onde a função lucro é positiva e de crescente;
g) A presente um esboço do gráfico da função lucro.
Soluções para a tarefa
Olá!
a) A função Lucro pode ser calculada subtraindo a função Custo da função Receita:
L(q) = R(q) - C(q)
L(q) = -2q³ + 8q² + 2500q - q³ + 10q² - 1156q
L(q) = -3q³ + 18q² + 1344q
b) As funções marginais são as funções derivadas. Assim, temos:
C'(q) = 3q² – 20q + 1156
R'(q) = -6q² + 16q + 2500
L'(q) = -9q² + 36q + 1344
c) Um ponto crítico de uma função é quando sua derivada é igual a zero. Assim, teremos:
L'(q) = -9q² + 36q + 1344 = 0
Usando Bhaskara, teremos que os pontos críticos serão -10,38 unidades ou 14,38 unidades.
d) Os máximos e mínimos locais de uma função são encontrados quando derivamos uma função e a igualamos a zero. Assim, o minimo local será -10,38 unidades e o máximo local será de 14,38 unidades.
e) A função será crescente no intervalo de 0 até seu máximo em 14,38 unidades.
f) A função será decrescente no intervalo entre 14,38 até infinito.
g) Segue em anexo.
Espero ter ajudado!
