Question

As funções a seguir levam R em R . Assinale a alternativa com o valor de m tal que (g o f)(x) = (f o g)(x) e a representação da função inversa h^-1 (x).
● f(x)=2-5x
● g(x)=(x-1)+m
● h(x)= (x+2)/(x–5) para x≠5.

Answer 1

Resposta:

m = 1

h^-1(x) = (5x+2)/(x-1), para x diferente de 1.

Explicação passo-a-passo:

f(x) = 2 - 5x

g(x) = (x-1)+m

f(g(x)) = f[(x-1)+m] = 2 - 5((x-1)+m)  = 2 - 5x + 5 - 5m  = 7 - 5m - 5x

g(f(x)) = g(2-5x) = (2-5x) - 1 + m  = 2 - 5x - 1 + m  = 1 + m - 5x

Queremos f(g(x)) = g(f(x)), então:

7 - 5m - 5x  = 1 + m - 5x      (somar 5x, nos dois lados)

7 - 5m = 1 + m     (somar 5m, nos dois lados)

7 = 1 + 6m     (subtrair 1, nos dois lados)

6 = 6m     (dividir por 6, nos dois lados)

m  = 1

h(x) = (x+2) / (x-5)           (substituir h(x) por y)

y = (x+2) / (x-5)          (trocar x por y e vice-versa)

x = (y+2) / (y-5)           (multiplicar por (y-5), nos dois lados)

x*(y-5) = y+2            (efetuar a distributiva em x, no lado esquerdo)

xy - 5x = y+2           (subtrair y e somar 5x, nos dois lados)

xy - y = 5x + 2           (evidenciar o fator comum y, no lado esquerdo)

y*(x-1) = 2 + 5x            (dividir por (x-1), nos dois lados)

y = (5x+2) / (x-1)           (substituir y por h^-1(x))

A inversa de h(x) é:

h^-1(x) = (5x+2) / (x-1), com x diferente de 1