Question

As figuras mostradas a seguir estão organizadas dentro de um padrão de colocação de pontos que se repete:
Denote por Tn o número de pontos utilizados na Figura n, por exemplo,T3=10. Descreva uma representação algébrica para Tn e, posteriormente, utilizando-a encontre o valor da soma T1 + T2 + T3 +...+ T20 .
OBS) Assuma conhecida a expressão que representa a soma dos quadrados dos primeiros n números naturais:

1²+2²+3²+...+n²= n*(n+1)*(2n+1)
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6

Answer 1

Resposta:

Tn= (n^2)+1

S20= 2890

Explicação passo-a-passo:

Temos a sequência:

2, 5, 10, 17, 26, 37,...,Tn

1+1, 4+1, 9+1, 16+1, 25+1, 36+1,...,Tn

1^2+1, 2^2+1, 3^2+1, 4^2+1, 5^2+1, 6^2+1,...,(n^2)+1

Logo, Tn=(n^2)+1

A formula da soma dos n primeiros termos dessa sequência é dado por:

Sn= 1^2+1 + 2^2+1 + 3^2+1 + 4^2+1 + 5^2+1 + 6^2+1 +...+ (n^2)+1

Sn= 1^2 + 2^2 + 3^2 +... +n^2 + 1+1+1+...+1

Onde 1+1+1+...+1 contém a soma de "n números 1". Logo:

Sn= n(n+1)(2n+1)/6 + n

Sn= n. [ (n+1).(2n+1)/6 + 1 ]

Sn= n. [ (n+1).(2n+1) + 6 ]/6

Sn= (n/6).[(n+1).(2n+1) + 6]

Logo, a soma dos primeiros 20 termos é:

S20= (20/6).[(20+1).(2.20+1) + 6]

S20= (20/6).[21.41 + 6]

S20= (20/6).867

S20= 2890

Blz?

Abs :)