Question

As extremidades de um diâmetro de uma circunferência são os ​ de pontos dados abaixo. determine a equação da ​ circuferencia que contém esses pontos:

a:) A(-2,3) e B(4,5)

b:) A(3,1) e B(7,-6)

c:) A(0,0) e B(2,2)

d:) A(2,1) e B(5,5)​

Answer 1

As equações das circunferências são: a) (x - 1)² + (y - 4)² = 10; b) (x - 5)² + (y + 5/2)² = 65/4; c) (x - 1)² + (y - 1)² = 2; d) (x - 7/2)² + (y - 3)² = 25/4.

A equação reduzida da circunferência é da forma (x - x₀)² + (y - y₀)² = r², sendo C = (x₀,y₀) o centro da circunferência e r o raio.

a) Sabemos que o centro da circunferência é o ponto médio do diâmetro.

Sendo A = (-2,3) e B = (4,5) os extremos do diâmetro, então o centro é:

2C = A + B

2C = (-2,3) + (4,5)

2C = (-2 + 4, 3 + 5)

2C = (2,8)

C = (1,4).

A distância entre A e C é igual a:

r² = (1 + 2)² + (4 - 3)²

r² = 3² + 1²

r² = 9 + 1

r² = 10.

Portanto, a equação da circunferência é (x - 1)² + (y - 4)² = 10.

b) O centro da circunferência é:

2C = (3,1) + (7,-6)

2C = (3 + 7, 1 - 6)

2C = (10, -5)

C = (5,-5/2).

A distância entre A e C é igual a:

r² = (5 - 3)² + (-5/2 - 1)²

r² = 2² + (-7/2)²

r² = 4 + 49/4

r² = 65/4.

Portanto, a equação da circunferência é (x - 5)² + (y + 5/2)² = 65/4.

c) O centro da circunferência é:

2C = (0,0) + (2,2)

2C = (0 + 2, 0 + 2)

2C = (2,2)

C = (1,1).

A distância entre A e C é igual a:

r² = (1 - 0)² + (1 - 0)²

r² = 1² + 1²

r² = 2.

Portanto, a equação da circunferência é (x - 1)² + (y - 1)² = 2.

d) O centro da circunferência é:

2C = (2,1) + (5,5)

2C = (2 + 5, 1 + 5)

2C = (7,6)

C = (7/2,3).

A distância entre A e C é igual a:

r² = (7/2 - 2)² + (3 - 1)²

r² = (3/2)² + 2²

r² = 9/4 + 4

r² = 25/4.

Portanto, a equação da reta é (x - 7/2)² + (y - 3)² = 25/4.