Question

As expressões algébricas são expressões que envolvem variáveis e números com operações da aritmética. Nessas expressões existem um conjunto de manipulações operatórias que podem ser realizadas, tais como adição, subtração, multiplicação, divisão, simplificações dentre outras. Um sistema de equações é formado por um conjunto de equações que apresentam mais de uma incógnita. Para resolver um sistema, é necessário encontrar valores que satisfaçam simultaneamente todas as equações. Use esses conceitos para resolver a seguinte questão: Maria pensou em um número e João em outro. Eles verificaram que elevando ao quadrado o número que Maria pensou e subtraindo o quadrado do número que João pensou consegui obter certo número N. Depois dividiram o valor de N pela soma dos números que eles pensaram. Dessa operação resultou-se um número K. Carlinhos viu que João e Maria estavam brincando com números, e disse: “ Olha, o dobro do número que Maria pensou mais o triplo do número que João pensou é Z.” Sejam P, Q e R polinômios tais que P(x) = –x2 + 3x + 4 e Q(x) = x2 + 2x + 3 e R = 2P – Q. Se 4 + R(2) = K e R(4) + 27 = Z, determine os números que João e Maria pensaram.

Answer 1

Vamos chamar o número que Maria pensou de x e o número que João pensou de y.

• Elevando ao quadrado o número que Maria pensou → x²

• Subtraindo o quadrado do número que João pensou → x² - y² = n

• Dividindo n pela soma dos números pensados → n/(x+y) = k

• O dobro do número que Maria pensou mais o triplo do número que João pensou é z → 2x + 3y = z

Sabendo os polinômios, vamos encontrar os números pensados por eles:

P(x) = –x² + 3x + 4

Q(x) = x² + 2x + 3

R(x) = 2P – Q. → -2x² + 6x + 8 - x² - 2x - 3 → R(x) = -3x² + 4x + 5

Temos que:

• 4 + R(2) = K

4 + (-3.2² + 4.2 + 5) = K

4 + (-12 + 8 + 5) = K

4 + 1 = K

K = 5

• R(4) + 27 = Z

-3.4² + 4.4 + 5 + 27 = Z

-48 + 16 + 32 = Z

Z = 0

Temos que:

$\begin{cases} 2x + 3y = 0\\\\\dfrac{x^2 - y^2}{x+y} = 5 \end{cases}$

Lembrando do produto notável produto da soma pela diferença:

(x + y)(x-y) = x² - y²

Assim:

$\dfrac{x^2 - y^2}{x+y} = 5 \rightarrow \dfrac{(x+y)(x-y)}{x+y} = 5 \rightarrow x-y=5$

O sistema a ser resolvido será então:

$\begin{cases} 2x + 3y = 0\\x - y = 5\end{cases}$

Resolveremos por substituição:

$x = 5 + y \rightarrow 2(5+y) + 3y = 0\\\\10+2y+3y = 0\\5y = -10\\y =-2$

Para achar x, colocamos y em qualquer uma das equações:

$x = 5+y\\x = 5-2\\x = 3$

Os números pensados por João e Maria foram -2 e 3 respectivamente.

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Answer 2

João pensou no -2 e Maria pensou no número 3.

$\dotfill$

A álgebra, como linguagem matemática, é a ferramenta ideal para resolver problemas de modelagem matemática como o que você apresenta.

Vamos chamar o número que Maria pensou de m e o número que João pensou de j. A partir de cada descrição da situação, escreveremos a expressão correspondente.

• "elevando ao quadrado o número que Maria pensou e subtraindo o quadrado do número que João pensou consegui obter certo número N"

      Logo,

     m² - j² = N

Seguindo,

• " Depois dividiram o valor de N pela soma dos números que eles pensaram." Dessa operação resultou-se um número K.

       Logo,

      (m² - j² ) / (m + j) = K

Em seguida:

• “ Olha, o dobro do número que Maria pensou mais o triplo do número que João pensou é Z.”

      Logo,

      2m + 3j = Z

Vamos observar primeiramente que K equivale à m - j.

De fato, lembrando os produtos notáveis, (m + j) . (m - j) = m² - j².

Com isso,

m - j = K

2m + 3j = Z

Usando agora as informações sobre os polinômios:

$\dotfill$

• 4 + R(2) = K

mas,

R(2) = 2P(2) - Q(2) = 2. [-(2)² + 3(2) + 4] - [2² + 2(2) + 3)] = 2.[-4 + 6 + 4] - (4 + 4 + 3) = 1

Logo,

4 + (1) = K       ⇒   K = 5

$\dotfill$

• R(4) + 27 = Z

mas,

R(4) = 2P(4) - Q(4) = 2.[-(4)² + 3(4) + 4] - [4² + 2(4) + 3)] = 2.[-16 + 12 + 4] - (16 + 8 + 3) = -27

Logo,

-27 + 27 = Z        ⇒   Z = 0

$\dotfill$

Voltando ao sistema com m ou j:

m - j = 5

2m + 3j = 0

Resolvendo o sistema, substituindo m na segunda equação.

2(5+j) + 3j = 0

10 + 2j + 3j = 0

10 + 5j = 0

j = -2

m - (-2) = 5

m + 2 = 5

m = 3

Logo, João pensou no -2 e Maria pensou no número 3.

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