Question

As equações podem ser escritas de forma explícita, ou seja, a variável dependente y está isolada, ou de forma implícita, onde a variável dependente y não está isolada. Neste sentido, calcule dz/dt para z = sen (xy), dado que x = 3t e y = t² .


Alternativa 1:
9t2.sen( t³ ).

Alternativa 2:
t2.cos( 3t³ ).

Alternativa 3:
9t2.cos( t³ ).

Alternativa 4:
9t2.cos( 3t³ ).

Alternativa 5:
9t2.sen(3 t³ ).

Answer 1

Sabemos que: $\frac{dz}{dt}= \frac{dz}{dx}. \frac{dx}{dt}+ \frac{dz}{dy} .\frac{dy}{dt}$.

Sendo assim, vamos determinar as quatro derivadas: dz/dx, dx/dt, dz/dy e dy/dt.

Sendo z = sen(xy), temos que:

dz/dx = cos(xy).y

e

dz/dy = cos(xy).x

De acordo com o enunciado, x = 3t e y = t². Então,

dx/dt = 3

e

dy/dt = 2t

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação descrita inicialmente:

dz/dt = y.cos(xy).3 + x.cos(xy).2t

Temos que substituir os valores de x e y para a derivada ficar em função de t:

dz/dt = 3t².cos(3t.t²) + 2t.3t.cos(3t.t²)

dz/dt = 3t².cos(3t³) + 6t².cos(3t³)

dz/dt = 9t².cos(3t³).

Alternativa correta: Alternativa 3.