Question

As equações diferenciais são equações que relacionam uma função com sua derivada e são muito utilizadas para representar os fenômenos da natureza nas engenharias e também comportamentos econômicos e sociais. Resolva a equação diferencial apresentada e calcule seu resultado para x = 5. Admita que y(0) = 2.

dq/dt= -23(y-10)

Assinale a alternativa que apresente o valor encontrado para y ao resolver a equação:

Alternativas
Alternativa 1:
y = 3

Alternativa 2:
y = 5

Alternativa 3:
y = 10

Alternativa 4:
y = 20

Alternativa 5:
y = 15

Answer 1

Resposta:

dq/dt= -23(q-10)  ==>  acredito que q=y  e t=x

dq/(q-10) =-23 dt

∫dq/(q-10) =-23 ∫dt

u=q-10  ==>du =dq

∫du/(u) =-23 t

ln|u| =-23t + c

Sabemos que u =q-10

ln|q-10| =-23t+c

q-10 =e^(-23t+c)

q=10+e^(-23t) * e^c    ...fazendo c=k

q(t) =10 +k *e^(-23t)

q(0) =10 +k=2  ==> k= -8

q(t) =10 -8 *e^(-23t)

para x=5

q(5)=10-8 * e^(-23*5) ≈ 10

Alternativa 3:

y = 10

Answer 2

10

Explicação:

$\dfrac{dy}{dx}=-23(y-10)\implies\dfrac{1}{y-10} dy=-23dx\implies\\\\\implies\displaystyle\int\dfrac{1}{y-10} dy=\displaystyle\int-23dx\implies \ln|y-10|=-23x+C\implies\\\\\implies|y-10|=e^{-23x+C}\implies y-10=\pm e^{-23x}\cdot e^C\implies\\\\\implies y=Ce^{-23x}+10$

Admitindo y(0) = 2 temos:

$2=Ce^{-23\cdot0}+10\implies 2=Ce^{0}+10\implies 2=C+10\implies C=-8$

Fazendo x = 5 e C = - 8 temos:

$y=-8e^{-23\cdot5}+10\sim10$