Question

As Equações complexas são aquelas em que os coeficientes pertencem ao conjunto dos números complexos. Observe a equação complexa a seguir: _x²+x-1=0

O que se pode afirmar sobre ela?
A) Possui duas raízes reais distintas.
B) Possui duas raízes reais iguais.
C) Possui duas raízes complexas.
D) Possui mais de duas raízes.

Answer 1

Usando a noção de unidade imaginária, obtém-se duas raízes complexas distintas :

$S=( x_{1} =\dfrac{1-i\sqrt{3} }{2};x_{2} =\dfrac{1+ i\sqrt{3} }{2})$

Equações complexas são aquelas cujas raízes são números complexos.

O número complexo gira em torno de uma noção:

i² = - 1   unidade imaginária    

$i^2=-1 .......equivalente ...i=\sqrt{-1}$

Assim já se pode representar raízes que não sejas números reais.

Resolvendo pela Fórmula de Bhaskara

x = (- b ± √Δ) /2a       com     Δ = b² - 4*a*c      e       a ≠ 0

- x² + x - 1 = 0    

a =  - 1

b =    1

c =  - 1

Δ = 1² - 4 * ( - 1 ) * ( - 1 ) = 1 + 4 * ( - 1 ) = 1 - 4 = - 3

√Δ = $\sqrt{-3}$

E vamos continuar

$x1 = \dfrac{- 1 + \sqrt{-3} }{2*(-1)} = \dfrac{- 1 + \sqrt{3*(-1)} }{-2}= \dfrac{- 1 + \sqrt{3}*\sqrt{-1} }{-2}=\dfrac{- 1 + \sqrt{3}*i }{-2}$

$x1 = \dfrac{- 1 - \sqrt{-3} }{2*(-1)} = \dfrac{- 1 - \sqrt{3*(-1)} }{-2}= \dfrac{- 1 - \sqrt{3}*\sqrt{-1} }{-2}=\dfrac{- 1 - \sqrt{3}*i }{-2}$

Para o sinal " - " apareça no denominador, multiplica-se , numerador e

denominador por " - 1 "

$x1 = \dfrac{- 1 *(-1)+ \sqrt{3}*(-1)*i }{-2*(-1)}= \dfrac{1- \sqrt{3}*i }{2}$

$x1 =\dfrac{- 1 *(-1)- \sqrt{3}*(-1)*i }{-2*(-1)}=\dfrac{1+ \sqrt{3}*i }{2}$

Logo C )

$S=( x_{1} =\dfrac{1- \sqrt{3}*i }{2};x_{2} =\dfrac{1+ \sqrt{3}*i }{2})$

Pode ser representada da seguinte maneira

$S=( x_{1} =\dfrac{1-i\sqrt{3} }{2};x_{2} =\dfrac{1+ i\sqrt{3} }{2})$

Observação → Equações do 2º grau com raízes , que são números

complexos, têm seu gráfico sem intersectar ou tocar no eixo x .

( ver gráfico em anexo )

Bons estudos.

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( * ) multiplicação      ( ≠ )   diferente de

$( x_{1} ;x_{2} )$  nomes dados às raízes da equação do 2º grau

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.