Question

As equações abaixo correspondem a três planos:


Sobre estas chapas afirma-se:

I) O plano 1 é perpendicular ao plano 2.
II) O plano 2 é perpendicular ao plano 3.
III) O plano 2 é paralelo ao plano 3.
IV) O plano 3 é paralelo ao plano 1.

Texto elaborado pelo Professor, 2019.

Assinale a alternativa correta:

Alternativas
Alternativa 1:
I, apenas.

Alternativa 2:
II, apenas.

Alternativa 3:
III, apenas.

Alternativa 4:
IV, apenas.

Alternativa 5:
II e IV, apenas.

Answer 1

A alternativa correta é Alternativa 3: III, apenas.

No plano 1 cuja equação é x + y + z = 0, temos que o vetor normal é u = (1,1,1).

No plano 2 cuja equação é 2x + 2y - 2z = -3, temos que o vetor normal é v = (2,2,-2).

No plano 3 cuja equação é x + y - z = -9, temos que o vetor normal é w = (1,1,-1).

Agora, vamos analisar cada afirmativa.

I) Para que o plano 1 seja perpendicular ao plano 2, os vetores u e v deverão ser perpendiculares.

Calculando o produto interno:

<u,v> = 1.2 + 1.2 + 1.(-2) = 2 + 2 - 2 = 2 ≠ 0.

Logo, eles não são perpendiculares.

II) Calculando o produto interno entre v e w:

<v,w> = 2.1 + 2.1 + (-2).(-1) = 2 + 2 + 2 = 6.

Logo, eles não são perpendiculares.

III) Para que o plano 2 seja paralelo ao plano 3, os vetores v e w deverão ser múltiplos.

De fato, observe que v = 2.w.

Portanto, a afirmativa está correta.

IV) Os vetores u e w não são múltiplos. Logo, os planos não são paralelos.