As equações a seguir são de circunferências. Determine as coordenadas do centro e do raio nos casos:
a) x2 + y2 – 10x – 2y + 17 = 0
b) x2 + y2 – 20x + 99 = 0
c) x2 + y2 – 8x + 6y + 24 = 0
d) x2 + y2 + 10x – 2y + 17 = 0
Soluções para a tarefa
Resposta:
a) Centro ( 5 ; 1 ) raio = 3
b) Centro ( 10, 0 ) raio = 1
c) Centro ( 4 ; - 3 ) raio = 1
Explicação passo-a-passo:
Enunciado:
As equações a seguir são de circunferências. Determine as coordenadas do centro e do raio nos casos:
a) x2 + y2 – 10x – 2y + 17 = 0
b) x2 + y2 – 20x + 99 = 0
c) x2 + y2 – 8x + 6y + 24 = 0
d) x2 + y2 + 10x – 2y + 17 = 0 esta é repetida da alínea a)
Resolução:
Nota 1 → Uma equação como estas x² + y² – 20x + 99 = 0
está na forma de Equação Geral da Circunferência.
O processo de resolução de problemas como este, pretende que no fim se apresentem as Equação Reduzida da Circunferência.
Genericamente é na seguinte forma
( x - a )² +( y - b )² = r²
Onde o centro será C ( a ; b ) e o raio "r"
Nota 2 → Para resolver este tipo de perguntas tem que agrupar os termos x e encontrar modo que com eles e, acrescentando algo, se "complete o quadrado"
Exemplo: x² + 4x + ...
Veja agora o que tem que acrescentar para "completar o quadrado".
x² + 4x + ( + 4/2 )²
Acrescenta-se " o quadrado de metade do coeficiente do termo só
com "x" . Neste caso o 4x "
= x² + 4x + 2²
= ( x + 2)²
Agora já tem o quadrado completo.
E ( x + 2)² é um produto notável → " quadrado de uma soma" , por isso se diz que completou-se o quadrado.
Nota 3 → O sinal que o termo em "x" tiver inicialmente , neste caso era "+" ( do " + 4x" ) , é o sinal que separará os dois termos do quadrado completo
( x + 2)².
Se esse termo em "x" tiver sinal negativo , o sinal que separa os dois termos do quadrado será negativo.
Exemplo:
x² - 8x + ....
x² - 8x + (8/2)² = ( x - 4 )²
Nota 4 → Quando estiver nas equações que vou resolver , ao acrescentar um valor para completar quadrados no primeiro membro da equação, tem que acrescentar o mesmo valor no segundo membro da equação.
Se o não fizer está a criar uma nova equação e não acertar na solução.
Isto leva a cotação zero numa resposta numa prova de avaliação.
Nota 5 → Tudo o que disse atrás aplica-se quando agrupar termos como , por exemplo, " y² - 12 y + ... ".
Nota 6 → O termo independente ,que costuma estar no primeiro membro d equação, é sempre enviado para o segundo membro.
a) x² + y² – 10x – 2y + 17 = 0
(x² - 10x + ( 10/2)² ) + ( y² - 2y + ( 2/2)²) = - 17 + ( 10/2)² + ( 2/2)²
O termo independente, como o "+ 17 " , passa sempre para o segundo membro , trocando o sinal.
(x² - 10x + 5² ) + ( y² - 2y + 1²) = - 17 + 5² + 1²
( x - 5 )² + ( y - 1 )² = - 17 +26
( x - 5 )² + ( y - 1 )² = 9
Nota 7 → O termo do segundo membro vem sempre apresentado como potência de expoente 2. Neste caso 9 = 3²
( x - 5 )² + ( y - 1 )² = 3²
Centro ( 5 ; 1 ) ; raio = 3
b) x² + y² – 20x + 99 = 0
( x² - 20x + (20/2)² ) + ( y² - 0x + 0² ) = - 99 + (20/2)² + 0²
( x - 10 )² + ( y + 0 )² = - 99 + 100
( x - 10 )² + ( y - 0 )² = 1²
C ( 10, 0 ) raio = 1
c) x² + y² – 8x + 6y + 24 = 0
( x - 8x + ( 8/2 )² ) + ( y² + 6x + ( 6/2 )² ) = - 24 + ( 8/2 )² + ( 6/2 )²
( x - 4 )² + ( y + 3 )² = -24 + 16 + 9
( x - 4 )² + ( y + 3 )² = 1²
Nota 8 → Na base de cada " quadrado completo " ,o termo sem variável tem que estar com um sinal " - " atrás.
Se tal não acontecer tem que se fazer um ajuste.
Exemplo: ( y - ( - 3) )²
( x - 4 )² + ( y - ( - 3 ) )² = 1²
Centro ( 4 ; - 3 ) raio = 1
Bom estudo.
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Sinais: ( / ) dividir
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