As equações a seguir são de circunferências. Determine as coordenadas do centro e do raio nos casos:
a) x2 + y2 – 10x – 2y + 17 = 0
b) x2 + y2 – 20x + 99 = 0
c) x2 + y2 – 8x + 6y + 24 = 0
d) x2 + y2 + 10x – 2y + 17 = 0
Soluções para a tarefa
Resposta:
a) Centro da circunferência ( 5 ; 1 ) e raio 3
b) Centro da circunferência ( 10 ; 0 ) e raio 1
c) Centro da circunferência ( 4 ; - 3) e raio 1
d) Centro da circunferência ( - 5 ; 1 ) e raio 3
Explicação passo-a-passo:
Enunciado:
As equações a seguir são de circunferências. Determine as coordenadas do centro e do raio nos casos:
a) x² + y² – 10x – 2y + 17 = 0
b) x² + y² – 20x + 99 = 0
c) x² + y² – 8x + 6y + 24 = 0
d) x² + y² + 10x – 2y + 17 = 0
Resolução:
a) x² + y² – 10x – 2y + 17 = 0
A equação geral da circunferência é do tipo
( x - a)² + ( y - b )² = r²
onde (a ; b) são as coordenadas do centro da circunferência e "r" é o raio da mesma circunferência
Para que fique nesta forma tem que se fazer uns cálculos que em Matemática se chamam de "completar o quadrado"
( Repare que ( x - a)² é um produto notável , chamado de Quadrado de uma Diferença )
E vamos ter que arranjar maneira de aparecer ( x - a)² e ( y - b )².
Começamos por agrupar os termos em "x" e depois os de "y".
Os outros termos sem x e sem y passam para 2º membro, trocando o sinal
( x² - 10x + ( - 10/2)² ) + ( y² - 2y + ( - 2 / 2 )² ) = - 17 + (10/2)² + ( - 2 / 2 )²
Como é que se encontra os valores (10/2)² e - 2 / 2 )² ?
Cada um deles é o quadrado de metade do termo em "x".
Assim tinha " - 10 x" peguei no coeficiente "-10" dividi por 2 e elevei tudo ao quadrado.
O mesmo para "- 2 x ".
Mas veja que se adicionou isto no 1º membro da equação.
Para que não modique a equação, tenho que adicionar o mesmo valor no 2º membro.
Continuando
( x² - 10x + 5² ) + ( y² - 2y + 1² ) = - 17 + 5² + 1²
Mas ( x² - 10x + 5² ) é o desenvolvimento do Produto Notável já indicado.
( x - 5 )²
Nota1 → O sinal "menos" entre o "x" e o "5" é dado pelo sinal do termo em x,
o "- 10x" .
Sendo " - " , vai ser ele que vai ficar entre o primeiro termo e o segundo do quadrado da diferença.
O mesmo se faz para o outro produto notável
" (- 2 / 2) ² "
Novamente continuando
( x - 5 )² + ( y - 1 )² = - 17 + 25 + 1
( x - 5 )² + ( y - 1 )² = 9
Mas podemos fazer uma pequena modificação no valor do 2º membro
( x - 5 )² + ( y - 1 )² = 3²
Ótimo . Já está como queríamos .
Centro da circunferência ( 5 ; 1 ) e raio 3
b) x² + y² – 20x + 99 = 0
É o mesmo procedimento.
( x² - 20x + ( - 20 / 2)² ) + ( y² + 0y +( 0/2)² ) = - 99 + ( - 20 / 2)² + ( 0/2)²
( x² - 20x + 10)² ) + ( y² + 0y + 0² ) = - 99 + 100 + 0
( x - 10 )² + ( y + 0 )² = 1²
Centro da circunferência ( 10 ; 0 ) e raio 1
c) x² + y² – 8x + 6y + 24 = 0
( x² - 8 x + ( - 8 / 2)² ) + ( y² + 6y + ( 6 / 2 )²) = - 24 + ( - 8 / 2)² + ( 6 / 2 )²
( x² - 8 x + 4² ) + ( y² + 6y + 3² ) = - 24 + 16 + 9
( x - 4 )² + ( y² - ( - 3) )² = 1²
Centro da circunferência ( 4 ; - 3) e raio 1
d) x² + y² + 10x – 2y + 17 = 0
( x² + 10x + ( 10/2)² ) + ( y² - 2y + ( - 2/2)² ) = - 17 + ( 10/2)² + ( - 2/2)²
( x - ( - 5) )² + ( y - 1 )² = 3²
Centro da circunferência ( - 5 ; 1 ) e raio 3
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Sinais: ( / ) dividir
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Quaisquer dúvidas envie mensagem no comentário desta tarefa.
Ao responder às tarefas eu coloco os passos a dar, explicando como se faz.
Se quer só a sequência dos cálculos , ela aqui está.
Se quer perceber e aprender como se faz, tem aqui a maneira de o fazer.