Question

"As derivadas são usadas para calcular velocidade e aceleração, para estimar a taxa de disseminação de uma doença, para estabelecer níveis de produção mais eficientes, para calcular as dimensões ideais de uma lata cilíndrica, para determinar a idade de um artefato pré-historio e em muitas outras aplicações". THOMAS, G. B. Cálculo. 13. Ed. São Paulo: Pearson, 2015. (Adaptado). I. A taxa de variação do volume de uma esfera em relação ao raio, quando este é igual a 2 cm é de 16 pcm cubed

Answer 1

A taxa de variação do volume de uma esfera em relação ao raio, quando este é igual a 2 cm é de 16π cm²

Derivada

Considerada como uma taxa de variação ou o coeficiente angular da reta tangente, também considerada como uma operação matemática, para uma variável, é definida pela seguinte expressão:

$\lim_{x- > a}\frac{f(x) - f(a)}{x-a}$

Para essa questão, especificamente, podemos usar a regra do tombo, pela seguinte expressão:

$dp(x)/dx=nx^{n-1}$

Então, vamos a questão. Na questão diz sobre a taxa de variação do volume em relação ao raio, como sabemos que a expressão do volume de uma esfera é dado por:

$V=4 \pi R^3/3$

Aplicando a regra do tombo:

$dV/dR=4 \pi 3 R^2/3=4 \pi R^2 = 16 \pi cm^2$

Assim, encontramos que ao realizar a derivada do volume em relação ao raio temos a resposta de   16π cm²

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