Question

as curvas definidas por f(x) = -3x^2+30x e por g(x) = 6x+21 delimitam a região hachurada; Determine a area da regiao.



2) A equação da velocidade de um movel durante um periodo de tempo, é dada por v(t)=5t+40, onde v(t) é a velocidade em metros por segundo, no instante t, dado em segundos. Aplicando a soma de Riemann (integral definida) calcule a distancia percorrida entre os intantes t =1 segundo e t=4 segundos.

Answer 1

Olá, Junior.

1) As curvas definidas por $f(x) = -3x^2+30x$ e por $g(x) = 6x+21$ delimitam a região hachurada.

Primeiramente, vamos identificar os valores de x onde as curvas se encontram:

$-3x^2+30x-(6x+21)=-3x^2+24x-21=0 \Leftrightarrow x^2-8x+7=0 \Leftrightarrow \\\\ x=1\text{ ou }x=7$

A área hachurada está, portanto, entre x = 1 e x = 7. Como $x^2-8x+7$ é uma parábola com a concavidade voltada para cima, então, entre os valores x = 1 e x = 7, esta parábola assume valores negativos, ou seja, entre x = 1 e x = 7, temos:

$x^2-8x+7<0\,\,\times(-3)\Rightarrow -3x^2+24x-21>0\Rightarrow\\\\ -3x^2+30x-(6x+21)>0 \Rightarrow f(x)-g(x)>0,x\in [1;7]$

A função a ser integrada, portanto, para encontrarmos a área hachurada no intervalo [1;7] é:

 $f(x)-g(x)=-3x^2+30x-(6x+21)=\\\\=-3x^2+24x-21=-3(x^2-8x+7)$

Integrando esta função em [1;7] temos:

$\int\limits_1^7 -3(x^2-8x+7)\,dx=-3(\frac13x^3|_1^7-8\cdot\frac12x^2|_1^7+7x|_1^7)=\\\\ =-3(\frac{342}3-4\cdot48+7\cdot6)=-3(\frac{342}3-192+42)=\\\\ =-342+450=\boxed{108}$


2) Integrando a função velocidade no intervalo [1;4], temos:

$\int\limits_1^4v(t)\,dt=\int\limits_1^4(5t+40)\,dt=5\int\limits_1^4(t+8)\,dt=\\\\ =5(\frac12t^2|\limits_1^4+8t|\limits_1^4)=5(\frac{15}{2}+8\cdot3)=5\cdot(7,5+24)=\\\\ =5\cdot31,5=\boxed{157,5\text{ metros}}$