Question

As cordas AB e CD de uma circunferência são perpendiculares em E, um ponto situado no interior da circunferência. A reta perpendicular ao segmento de reta AC passando por E intersecta o segmento de reta BD no ponto F. Mostre que F é o ponto médio do segmento de reta BD. (Sugestão: Mostre que os triângulos BEF e DEF são isósceles.)

Answer 1

Conforme o exercício

     •      $\mathsf{C\hat{G}E=A\hat{G}E=90^{\circ}}}$


Ângulos que subtendem o mesmo arco são iguais

     $\mathsf{A\hat{C}D=A\hat{B}D=\alpha}$


E como os ângulos internos de um triângulo somam 180º, $\mathsf{C\hat{A}B}$ vale

     $\mathsf{\alpha+90^{\circ}+C\hat{A}B=180^{\circ}}$

     $\mathsf{C\hat{A}B=180^{\circ}-90^{\circ}-\alpha}$

     $\mathsf{C\hat{A}B=90^{\circ}-\alpha}$

     $\mathsf{C\hat{A}B=C\hat{D}B=90^{\circ}-\alpha}$


Observando o triângulo CEG, $\mathsf{C\hat{E}G}$ vale

     $\mathsf{\alpha+90^{\circ}+C\hat{E}G=180^{\circ}}$

     $\mathsf{C\hat{E}G=90^{\circ}-\alpha}$


$\mathsf{G\hat{E}A}$ é complementar a $\mathsf{C\hat{E}G}$

     $\mathsf{90^{\circ}-\alpha+G\hat{E}A=90^{\circ}}$

     $\mathsf{G\hat{E}A=\alpha}$


Por fim, como ângulos opostos pelo vértice são iguais

     $\mathsf{C\hat{E}G=D\hat{E}F}$

     $\mathsf{A\hat{E}G=B\hat{E}F}$


Com isso podemos afirmar que o triângulo BEF e DEF é isósceles e que

     $\mathsf{EF=BF=FD}$


Portanto o ponto F é o ponto médio do segmento BF.


Alguma dúvida? Pode perguntar.


Bons estudos! :-)

Answer 2

O ponto F é o ponto médio do segmento de reta BD.

Os triângulos ACE e BED são semelhantes. Note que os ângulos C e B são iguais e os ângulos A e D também, como mostra a figura abaixo.

O triângulo AEG é retângulo. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, temos que a medida do ângulo AEG é:

AEG + β + 90 = 180

AEG = 90 - β.

Consequentemente, no triângulo CGE, a medida do ângulo GEC é:

GEC + 90 + α = 180

GEC = 90 - α.

Os ângulos AEG e BEF são opostos pelo vértice, ou seja, BEF = 90 - β.

Os ângulos GEC e DEF também são opostos pelo vértice. Logo, DEF = 90 - α.

Perceba que α + β = 90º. Então, β = 90 - α ou α = 90 - β.

Assim, no triângulo EFD temos que os lados EF e FD são congruentes. No triângulo EFB temos que os lados EF e BF também são congruentes.

Ou seja, EF = BF = FD.

Portanto, podemos concluir que o ponto F é o ponto médio do segmento BD.

Exercício de circunferência: https://brainly.com.br/tarefa/7500559