Question

As coordenadas do centro de gravidade da região limitada no 2º quadrante por y=(x+1)3 e a reta x-y=-1 são:
Escolha uma:

Answer 1

As coordenadas do centro de gravidade da região limitada no 2º quadrante por y = (x + 1)³ e a reta x - y = -1 são -7/15 e 16/105.

Primeiramente, observe que a região limitada no 2º quadrante pelas curvas y = (x + 1)³ e x - y = -1 é a região hachurada anexada abaixo.

Vamos calcular a área dessa região. Para isso, utilizaremos a integral definida com os limites de integração iguais a -1 e 0.

Dito isso, temos que:

$A = \int\limits^0_{-1} {x+1-(x+1)^3} \, dx$

$A=\int\limits^0_{-1} {x+1-x^3-3x^2-3x-1} \, dx$

$A=\int\limits^0_{-1} {-x^3-3x^2-2x} \, dx$

A = -x⁴/4 - x³ - x².

Substituindo os limites de integração, obtemos a área da região hachurada:

A = -(-(-1)⁴/4 - (-1)³ - (-1)²)

A = -(-1/4 + 1 - 1)

A = -(-1/4)

A = 1/4 u.a.

Agora, vamos calcular Mx:

$Mx = \frac{1}{2}\int\limits^0_{-1} {(-x^3-3x^2-2x)^2} \, dx$

Mx = 4/105.

Calculando My, obtemos:

$My = \int\limits^0_{-1} {x.(-x^3-3x^2-2x)} \, dx$

My = -7/60.

Portanto, as coordenadas do centro de gravidade são:

x = (-7/60)/(1/4) = -7/15

e

y = (4/105)/(1/4) = 16/105.