Question

As colunas da tabela abaixo formam progressões geométricas todas da mesma razão e as linhas são progressões aritméticas da mesma razão .
1                     14


          480
sao três colunas e quatro linhas.
A primeira  linha e 1  e o 14      da terceira coluna.
A segunda e a terceira estão em branco e 
Quarta coluna a do meio e 480.

a)Determine a razão das progressões aritméticas.
b) Determine a razão das progressões geométricas.
c) Complete a tabela

Answer 1

Olá.

 

Por meio de pesquisas, encontrei a tabela original e em anexo adiciono uma completa, onde os valores em laranja são os que já estavam na tabela. Agora, explico como encontrar os valores contidos na tabela.

 

Não tem como responder as questões de forma linear, pois tem partes que inter-relacionam. Vou desenvolver e no final comento os resultados. Vamos aos cálculos.

 

Para encontrar a razão de uma PA, podemos considerar o seguinte:

aₙ = a₁ + (n - 1) × r

 

Com isso, teremos também:

a₁ = a₁ + 0r

a₂ = a₁ + 1r

a₃ = a₁ + 2r

 

Como sabemos o valor de a₃ e a₁, podemos substituí-los na última expressão para obter o valor da razão da PA. Teremos:

$\mathsf{a_3=a_1+2r}\\\\ \mathsf{14=1+2r}\\\\ \mathsf{14-1=2r}\\\\ \mathsf{13=2r}\\\\ \mathsf{\dfrac{13}{2}=r}\\\\ \boxed{\mathsf{6,5=r}}$

 

A razão da PA₁ é 6,5. Sabendo a razão, podemos descobrir o valor de a₂. Teremos:

a₂ = a₁ + 1r

a₂ = 1 + 6,5

a₂ = 7,5

 

Já podemos substituir o a₂ da PA₁ na tabela.

 

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Temos agora o a₁ e a₂ da PG₂. Com isso, podemos encontrar a razão da PG.

A razão (q) de uma PG pode ser encontrada através da divisão de um termo por seu antecessor. Teremos:

$\mathsf{q=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}}\\\\\\ \mathsf{q=\dfrac{a_2}{a_{1}}}\\\\\\ \mathsf{q=\dfrac{60}{7,5}}\\\\\\ \mathsf{q=8}$

 

Sabendo o valor da razão das PGs, podemos calcular todos os termos/valores restantes na tabela.

 

Podemos considerar o seguinte:

$\mathsf{a_n=a_1\times q^{n-1}}$

 

$\mathsf{a_1=a_1\times q^{0}}\\\\\mathsf{a_2=a_1\times q^{1}}\\\\\mathsf{a_3=a_1\times q^{2}}\\\\\mathsf{a_4=a_1\times q^{3}}$

 

Substituindo os valores de a₁ e q, em todas as PGs, vamos aos cálculos.

 

Para PG₁, teremos:

$\mathsf{a_1=1\times8^{0}=1\times1=1}\\\\\mathsf{a_2=1\times8^{1}=1\times8=8}\\\\\mathsf{a_3=1\times8^{2}=1\times64=64}\\\\\mathsf{a_4=1\times8^{3}=1\times512=512}$

 

Para PG₂, teremos:

$\mathsf{a_1=7,5\times8^{0}=7,5\times1=7,5}\\\\\mathsf{a_2=7,5\times8^{1}=7,5\times8=60}\\\\\mathsf{a_3=7,5\times8^{2}=7,5\times64=480}\\\\\mathsf{a_4=7,5\times8^{3}=7,5\times512=3840}$

 

Para PG₃, teremos:

$\mathsf{a_1=14\times8^{0}=\times1=14}\\\\\mathsf{a_2=14\times8^{1}=\times8=112}\\\\\mathsf{a_3=14\times8^{2}=\times64=896}\\\\\mathsf{a_4=14\times8^{3}=\times512=7168}$

 

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Questão A

As razões das PAs podem ser obtidas através da diferença entre um número e seu antecessor. Teremos:

PA₁ | r = a₂ – a₁ = 7,5 – 1 = 6,5

PA₂ | r = a₂ – a₁ = 60 – 8 = 52

PA₃ | r = a₂ – a₁ = 480 – 64 = 416

PA₄ | r = a₂ – a₁ = 3.840 – 512 = 3.328

Questão B

A razão das PGs é 8.

 

Questão C

Pelo que foi detalhado acima, pôde-se completar a tabela.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos.