Question

As circunferências de equações x² + y2 + (m.n)x + 2y + 10 = 0 e x² + y² + 15x + (m – n)y + 13 = 0 são concêntricas, então o valor absoluto da soma m + n é:

Answer 1

Perceba que a equação geral da circunferência é:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Onde C = (a, b) representa as coordenadas do centro da circunferência e r o raio.

Expandindo os quadrados teremos:

$x^2 - 2 \cdot a \cdot x + a^2 + y^2 - 2 \cdot b \cdot y + b^2 = r^2$

Agora vamos olhar para a primeira equação que você tem:

$x^2 + m \cdot n \cdot x + y^2 + 2 \cdot y + 10 = 0$

Assim descobrimos, comparando as duas equações acima, que:

$-2 \cdot b \cdot y = 2 \cdot y$

Ou seja:

$-2 \cdot b = 2$

Isolando:

$b = -\dfrac{2}{2}$

$\boxed{b = -1}$

Agora vamos olhar para a segunda equação:

$x^2 + 15 \cdot x + y^2 + (m - n) \cdot y + 13 = 0$

Note que:

$-2 \cdot a \cdot x = 15 \cdot x$

Ou seja:

$\boxed{a = -\dfrac{15}{2}}$

Sendo o centro C localizado em: $C = \left(-\dfrac{15}{2}, -1 \right)$, podemos substituir as coordenadas na equação da circunferência para descobrir m e n:

$x^2 - 2 \cdot \left(-\dfrac{15}{2}\right) \cdot x + \left(-\dfrac{15}{2}\right)^2 + y^2 - 2 \cdot (-1) \cdot y + (-1)^2 = r^2$

$x^2 + 15 \cdot x + \dfrac{225}{4} + y^2 +2 \cdot y + 1 = r^2$

Agora, comparando com as equações que você têm:

$m \cdot n = 15$

e:

$m - n = 2$

Vou isolar m em função de n:

$m = 2 + n$

Substituindo na outra equação:

$(2 + n) \cdot n = 15$

$n^2 + 2 \cdot n - 15 = 0$

Equação de segundo grau, podemos resolver por Bhaskara:

$n_{1,2} = \dfrac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4 \cdot A \cdot C}}{2 \cdot A}$

Substituindo A = 1, B = 2 e C = -15:

$n_{1,2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1}$

$n_{1,2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 +60}}{2}$

$n_{1,2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{64}}{2}$

$n_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 8}{2}$

$n_{1} = \dfrac{-2 + 8}{2}$

$n_{1} = \dfrac{6}{2}$

$n_{1} = 3$

e:

$n_{2} = \dfrac{-2 - 8}{2}$

$n_{2} = -\dfrac{10}{2}$

$n_{2} = -5$

Caso utilizemos $n_1$:

$m_1 = 2 + n_1$

$m_1 = 2 + 3$

$m_1 = 5$

Caso utilizemos $n_2$:

$m_2 = 2 + n_2$

$m_2 = 2 - 5$

$m_2 = -3$

Então, se somarmos o valor absoluto de m e n teremos:

$\left\lvert m_1 + n_1\right\lvert = \left\lvert 5 + 3\right\lvert = \left\lvert 8 \right\lvert$

$\boxed{ \left\lvert m_1 + n_1\right\lvert = 8}$

Ou:

$\left\lvert m_2 + n_2\right\lvert = \left\lvert -3 -5\right\lvert = \left\lvert -8 \right\lvert$

$\boxed{ \left\lvert m_2 + n_2\right\lvert = 8}$

Assim, a resposta é 8.