Question

As circunferências de equação X² + Y² - 2x + 2y -10=0 e (x-1)² + (y-1)² =4 são:

a) secantes
b) tangente internas. c) tangente externas.

d) exteriores, sem ponto comum.
e) interiores, sem ponto comum.



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Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~secantes}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Esta questão de geometria analítica visa descobrir a posição relativas entre as circunferências de equação $x^2+y^2-2x+2y-10=0$ e $(x-1)^2+(y-1)^2=4$.

Para isso, devemos encontrar a distância entre seus centros e ver em qual caso se encaixa.

Lembre-se:

• A equação reduzida de uma circunferência é $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$, na qual $x_c$ e $y_c$ são as coordenadas do centro e $r$ é o raio.
• A distância entre dois pontos é calculada pela fórmula $d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

Os casos são enumerados da seguinte forma:

1. Quando $d$ > $r_1+r_2$, as circunferências são externas.
2. Quando $d$ < $r_1-r_2$, as circunferências são internas.
3. Quando $d$ = $r_1+r_2$, as circunferências são tangentes externas.
4. Quando $d$ = $r_1-r_2$, as circunferências são tangentes internas.
5. Quando $r_1-r_2$ < $d$ < $r_1+r_2$, as circunferências são secantes.

Para resolver esta questão, devemos encontrar as posições dos centros.

Primeiro, vamos encontrar a equação reduzida da primeira circunferência pelo método de completar quadrados.

Seja a circunferência de equação $x^2+y^2-2x+2y-10=0$

Some 1 + 1 em ambos os lados da equação

$x^2+y^2-2x+2y-10+1+1=1+1$

Reorganize os termos e fatore os trinômios quadrados perfeitos

$x^2-2x+1+y^2+2y+1-10=2\\\\\\ (x-1)^2+(y+1)^2-10=2$

Some 10 em ambos os lados da equação

$(x-1)^2+(y+1)^2=12$

Comparando ambas as equações das circunferências a uma equação reduzida, temos

As coordenadas do centro da primeira circunferência em $(1, -1)$ e raio $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.

As coordenadas do centro da segunda circunferência em $(1,~1)$ e o raio $2$.

Agora, aplicando os valores na fórmula de distância, temos que

$d=\sqrt{(1-1)^2+(-1-1)^2}$

Some os valores e calcule as potências

$d=\sqrt{0^2+(-2)^2}\\\\\\ d=\sqrt{4}$

Calcule a raiz

$d=2$

Para efeitos de cálculo, saibamos que $r_1+r_2=2\sqrt{3}+2\approx 5,46$ e $r_1-r_2=2\sqrt{3}-2\approx 1,46$.

Como podemos ver, $r_1-r_2<d<r_1+r_2$, logo as circunferências são secantes.