Question

As cidades Amoreira e Brotinho têm, atualmente 1.000.000 e 5.000.000 de habitantes respectivamente. Devido à abertura de uma grande fábrica de automoveis em Amoreira, sua população vem aumentando 20% ao ano. Caso esta situação persista, em quanto tempo, aproximadamente, Amoreira se tornará a cidade mais populosa que Brotinho? (Adote log2=0.30 e log3=0.48)

Se possivel explique passo a passo? Obrigado :)

Answer 1

Se as população aumenta 20% ao ano, no fim desse ano, a população corresponderá a 120% da população inicial

No fim do primeiro ano, a população 'x₁' será 120% de 'x₀':

$x_{1}=120\%~de~x_{0}=\frac{120}{100}\cdot x_{0}=\frac{12}{10}\cdot x_{0}=\frac{6}{5}\cdot x_{0}$

No fim do segundo ano, a população 'x₂' será 120% de 'x₁':

$x_{2}=120\%~de~x_{1}=\frac{120}{100}\cdot\frac{6}{5}\cdot x_{0}=(\frac{6}{5})^{2}\cdot x_{0}$

Já da pra perceber a lei de formação (é uma progressão geométrica). Após 'n' anos, a população 'xn', em relação à x₀, será dada por:

$x_{n}=(\frac{6}{5})^{n}\cdot x_{0}$
__________________________

Agora indo para o exercício:

População de Amoreira após 'n' anos, em relação à população inicial:

$a_{n}=(\frac{6}{5})^{n}\cdot a_{0}=(\frac{6}{5})^{n}\cdot1000000=(\frac{6}{5})^{n}\cdot10^{6}$

População de Brotinho: 5000000 = 5.10⁶

_____

Fazendo an > b:

$a_{n}>b\\\\(\frac{6}{5})^{n}\cdot10^{6}>5\cdot10^{6}\\\\(\frac{6}{5})^{n}\cdot1>5\\\\(\frac{12}{10})^{n}>5$

Aplicando logaritmo decimal nos 2 lados da inequação:

$log(\frac{12}{10})^{n}>log~5\\\\n\cdot log(\frac{12}{10})>log~(\frac{10}{2})\\\\n\cdot(log~12-log~10)>log~10-log~2\\\\n\cdot(log~[3\cdot2\cdot2]-1)>1-0,30\\\\n\cdot(log~3+log~2+log~2-1)>0,70\\\\n\cdot(0,48+0,30+0,30-1)>0,70\\\\n\cdot0,08>0,70\\\\n>0,70/0,08\\\\n>8,75$

Como 'n' é inteiro, Amoreira se tornará mais populosa que Brotinho em 9 anos