Question

As cidades A, B e C estão dispostas de modo a formarem um
triângulo. A distância entre as cidades A e B, A e Ce entre
B e C são 13 km, 7 km e d km, respectivamente. Sabendo
que o ângulo oposto ao lado AB mede 135º, a distância d
corresponde, em km, a:
Dados: sen 45º = sen 135º e cos 45º = -cos 135º.
A) 512
B) 32
C) 2/5
D) 3/5
E) 53​

Answer 1

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⠀⠀☞ Pela Lei dos Cossenos encontramos que a distância d corresponde à aproximadamente 7 km, apesar de não haver nenhuma opção com esse valor. ✅

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⠀⠀Pela Lei dos Cossenos temos que para todo triângulo plano:

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$\large\gray{\boxed{\sf\blue{~~(\overline{AB})^2 = (\overline{BC})^2 + (\overline{AC})^2 - 2 \cdot \overline{BC} \cdot \overline{AC} \cdot cos(\hat{C})~~}}}$

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⠀⠀Com os termos do enunciado temos que:

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$\large\blue{\sf 13^2 = d^2 + 7^2 - 2 \cdot d \cdot 7 \cdot cos(135)}$

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$\large\blue{\sf 169 = d^2 + 49 - 14d \cdot (-(cos(45))}$

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$\large\blue{\text{ \sf d^2 + 49 + 14d \cdot \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) - 169 = 0 }}$

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$\LARGE\blue{\sf d^2 + 7 \cdot \sqrt{2} \cdot d - 120 = 0}$

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⠀⠀Pela fórmula de Bháskara temos que:

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$\large\blue{\sf \Delta = (7 \cdot \sqrt{2} \cdot d)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120)}$

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$\LARGE\blue{\sf = 49 \cdot 2 + 480}$

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$\LARGE\blue{\sf = 96 + 480}$

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$\LARGE\blue{\sf = 576}$

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$\begin{cases}\blue{\text{ \sf d_{1} = \dfrac{-7 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-7 \cdot \sqrt{2} + 24}{2} = 12 - 3,5 \cdot \sqrt{2} }}\\\\\\\blue{\text{ \sf d_{2} = \dfrac{-7 \cdot \sqrt{2} - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-7 \cdot \sqrt{2} - 24}{2} = -12 - 3,5 \cdot \sqrt{2} }}\end{cases}$

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⠀⠀Como a distância é uma grandeza positiva então tomaremos somente a solução positiva:

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$\LARGE\blue{\sf d = 12 - 3,5 \cdot \sqrt{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf d = 12 - 3,5 \cdot 1,414}$

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$\LARGE\blue{\sf d = 12 - 4,935}$

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$\LARGE\blue{\sf d \approx 7}$

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{d}~\pink{\approx}~\blue{ 7,05 }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre lei dos cossenos:

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✈ https://brainly.com.br/tarefa/20622215

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$