Question

As bases de um trapézio hosceles medem 4 cm e 14 cm. Determine seu perimetro e sua área sabendo que dois deseus angulos internos medem 45°.​

Answer 1

Perímetro: 18 + 10√2 cm

Área: 45 cm²

Explicação passo-a-passo:

Se o trapézio é isósceles as suas partes laterais são iguais.

Vamos analisar o triângulo que se forma na lateral que possui ângulo com a base de 45°.

A diferença entre as bases é:

$14 - 4 = 10 \: cm$

Como os triângulos são iguais, já que o trapézio é isósceles, as bases dos triângulos valem cada uma 5 cm.

Fazendo uso do cos 45° acharemos a hipotenusa e com o sen 45° acharemos a altura.

$cos(x) = \frac{ca}{h} \\ cos(45) = \frac{5}{h} \\ \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{5}{h} \\ h \sqrt{2} = 2 \times 5 \\ h = \frac{10}{ \sqrt{2} }$

Agora vamos racionalizar essa hipotenusa:

$h = \frac{10}{ \sqrt{2} } \times \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \frac{10 \sqrt{2} }{ \sqrt{4 } } = \frac{10 \sqrt{2} }{2} = 5 \sqrt{2 } \: cm$

Com o sen 45° acharemos a altura a.

$sen(x) = \frac{co}{h} \\ sen(45) = \frac{a}{5 \sqrt{2} } \\ \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{a}{5 \sqrt{2} } \\ 2a = 5 \sqrt{2} \times \sqrt{2} \\ 2a = 5 \times \sqrt{4} = 5 \times 2 = 10 \\ 2a = 10 \\ a = \frac{10}{2} = 5 \: cm$

Agora já temos todos os dados para responder quem é a altura e perímetro da figura.

Perímetro:

$p = 4 + 14 + 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \\ p = 18 + 10 \sqrt{2}$

A hipotenusa equivale a lateral da figura

Área:

$area = \frac{(base \: maior + base \: menor) \times altura}{2} \\ area = \frac{(14 + 4) \times 5}{2} \\ area = \frac{18 \times 5}{2} = 9 \times 5 = 45 \: {cm}^{2}$