Question

As aplicações de integrais são muito relevantes para a geometria. Entre elas podemos destacar o cálculo da área entre duas curvas. Com este procedimento, podemos determinar áreas que anteriormente eram inacessíveis através da Geometria Plana Clássica. Segundo isto, determine a área entre as curvas g(x) = x² - 1 e f(x) = x³ + 1, no intervalo de [-1, 1]

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

Seja a região $R$ compreendida entre duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)>g(x)$. A área desta região pode ser calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}1\,dy\,dx=\int_a^bf(x)-g(x)\,dx}$.

Devemos determinar a área entre as curvas $g(x)=x^2-1$ e $f(x)=x^3+1$, no intervalo $[-1,~1]$.

Primeiro, devemos determinar qual função tem imagem maior neste intervalo. Para isso, utilizamos uma ferramenta gráfica para plotar os gráficos das funções, como pode-se ver na primeira imagem em anexo.

Facilmente, podemos ver que, neste intervalo, $x^3+1>x^2-1$. Assim, a área desta região será calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_{-1}^1x^3+1-(x^2-1)\,dx}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes

$\displaystyle{\int_{-1}^1x^3+1-x^2+1\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_{-1}^1x^3-x^2+2\,dx}$

Para resolver esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$.
• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int x^3\,dx+\int -x^2\,dx+\int 2\,dx~\biggr|_{-1}^1$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{\int x^3\,dx-\int x^2\,dx+2\cdot\int 1\,dx~\biggr|_{-1}^1$

Aplique a regra da potência, sabendo que $1=x^0$

$\dfrac{x^{3+1}}{3+1}-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+2\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_{-1}^1$

Some os valores nos expoentes e denominadores e multiplique os termos

$\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}+2\cdot\dfrac{x^1}{1}~\biggr|_{-1}^1\\\\\\ \dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}+2x~\biggr|_{-1}^1$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{1^4}{4}-\dfrac{1^3}{3}+2\cdot1-\left(\dfrac{(-1)^4}{4}-\dfrac{(-1)^3}{3}+2\cdot(-1)\right)$

Calcule as potências e multiplique os termos

$\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}+2-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-2\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos

$\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}+2-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}+2\\\\\\ \dfrac{10}{3}~\bold{u.~a}~~\checkmark$

Esta é a área da região compreendida entre estas curvas. Observe na segunda imagem em anexo esta região colorida em laranja.