Question

As alternativas abaixo representam as aproximações dos polinômios de Taylor p1, p2,p3,p4 da função f(x) = ln(x) no ponto x0 = 1. Assinale a alternativa que registra a expressão do polinômio de Taylor p5 para esta função em x0= 1

Answer 1

Utilizando definição de polinomio de Taylor, temos que este polinomio corresponde a alternativa A.

Explicação passo-a-passo:

Cada termo de uma séria de Taylor de uma função f(x) é dada pela seguinte definição:

$P_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}.(x-x_0)^n$

Assim fazendo os 5 primeiros termos (p0, p1, p2, p3, p4) temos que:

$P_0=f(1).(x-1)^0=ln(1).1=0$

$P_1=f^{(n)}(1).(x-1)^1=\frac{1}{1}.(x-1)=(x-1)$

$P_2=f^{(2)}(1).(x-1)^2=-\frac{1}{2.1^2}.(x-1)^2=-\frac{1}{2}(x-1)^2$

$P_3=f^{(3)}(1).(x-1)^3=2.\frac{1}{3.2.1^3}.(x-1)^3=\frac{1}{3}(x-1)^3$

$P_4=f^{(4)}(1).(x-1)^4=-6\frac{1}{4.3.2.1^4}.(x-1)^4=-\frac{1}{4}(x-1)^4$

Assim juntando estes termos, temos o seguinte polinomio:

$P(x)=(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{3}(x-1)^3-\frac{1}{4}(x-1)^4$

E temos que este polinomio corresponde a alternativa A.