Question

Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol. Quantos vertices possui esse poliedro?

Answer 1

12 faces pentagonais -> 12.5 = 60

 20 faces hexagonais -> = 20.6 = 120

faces = 12+20 = 32

as arestas foram contadas duas vezes 
então
2.arestas = 60+120
2.arestas = 180
arestas = 180/2 
arestas = 90

pra descobrir o numero de vertices
faces + vertice = arestas + 2
vertice = arestas + 2 - faces

vertices = 90+2 - 32
vertices = 60

Answer 2

Esse poliedro possui 60 vértices.

Vamos considerar que:

F5 = quantidade de faces pentagonais

F6 = quantidade de faces hexagonais.

Como F5 = 12 e F6 = 20, então o total de faces do poliedro é igual a:

F = 12 + 20

F = 32.

Para calcular a quantidade de arestas, devemos fazer o seguinte cálculo:

2A = 5.F5 + 6.F6

Logo,

2A = 5.12 + 6.20

2A = 60 + 120

2A = 180

A = 90.

Para calcularmos a quantidade de vértices, utilizaremos a Relação de Euler.

A Relação de Euler nos diz que V + F = A + 2.

Portanto, a quantidade de vértices que o poliedro possui é:

V + 32 = 90 + 2

V + 32 = 92

V = 92 - 32

V = 60.

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