Matemática, perguntado por wellingtonsolva145, 6 meses atrás

Arquimedes descobriu um poliedro composto por 8 triângulos e 18 quadrados. Este poliedro inspirou muitos brinquedos na China. Quantas arestas e vértices ele tem?

d) 26 arestas e 18 vértices

c) 24 arestas e 48 vértices

a) 48 arestas e 24 vértices

b) 96 arestas e 72 vértices

Soluções para a tarefa

Respondido por Lilayy

O poliedro tem 48 arestas e 24 vértices (Alternativa A).

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O poliedro é formado por oito triângulos e um triângulo tem três lados, então vamos multiplicar oito por três. O poliedro também é formado por dezoito quadrados e um quadrado tem quatro lados, então vamos multiplicar dezoito por quatro.

Mas o resultado dessa expressão vai resultar em um valor dobrado, por isso temos que dividir esse valor por dois.

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$\Large\boxed{\begin{array}{lr}\rm A=\dfrac{8\cdot 3+18\cdot 4}{2}\\\\\rm A=\dfrac{24+72}{2}\\\\\rm A=\dfrac{96}{2}\\\\\boxed{\purple{\boxed{\rm A=48}}}\end{array}}$

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Agora que sabemos que o poliedro tem 48 arestas podemos identificar a alternativa correta por eliminação, a alternativa "a" é a única que informa que o poliedro tem 48 arestas.

Mas, a alternativa também informa que o poliedro tem 24 vértices, e podemos saber se isso é real usando a relação de Euler:

$\Large\boxed{\purple{\begin{array}{lr}\rm F+V=A+2\end{array}}}$

$\left\{\begin{gathered}\rm F=faces~~~\\\\\rm V=vertices\\\\\rm A=arestas~\end{gathered} \right.$

$\Large\boxed{\begin{array}{lr}\rm F+24=48+2\\\\\rm F=48+2-24\\\\\rm F=50-24\\\\\rm F=26\\\\\rm Prova~real:\\\\\rm 26+24=48+2\\\\\rm 50=50\end{array}}$