Question

(Aritmética: Teoria dos Números – Números Naturais – Princípio da Indução Finita – Desigualdades)

Sejam $a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_n$ números reais positivos. Utilizando o Princípio da Indução Finita, mostre que

     $\displaystyle\left(\sum_{k=1}^n a_k \right)\cdot \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} \right)\ge n^2$

qualquer que seja $n$ inteiro positivo.​

Answer 1

Testemos primeiro a proposição com o elemento mínimo dos naturais, $n = 1$ :

$\left( \sum\limits^{1}_{k=1} a_k\right) \cdot \left( \sum\limits^{1}_{k=1} \cfrac{1}{a_k} \right)\\\\= 1 \cdot \cfrac{1}{1} \\\\= 1$

Que é maior ou igual a $1^2$, portanto $p(1)$ é válida.
Hipótese de indução: supor que dado um $n$ qualquer, a proposição $p(n)$ é válida:

$\left( \sum\limits^{n}_{k=1} a_k\right) \cdot \left( \sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{1}{a_k} \right) \geq n^2$

Passo indutivo: demonstrar que $p(n) \Longrightarrow p(n+1)$ :

$\left( \sum\limits^{n + 1}_{k=1} a_k\right) \cdot \left( \sum\limits^{n+1}_{k=1} \cfrac{1}{a_k} \right)$

$= \left(\left( \sum\limits^{n}_{k=1} a_k\right) + a_{n+1}\right) \cdot \left(\left( \sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{1}{a_k} \right) + \cfrac{1}{a_{n+1}} \right)$

$=\sum\limits^{n}_{k=1} a_k \cdot \sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{1}{a_k} + \cfrac{\sum\limits^{n}_{k=1} a_k}{a_{n+1}} + a_{n+1} \cdot \sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{1}{a_k} + \cfrac{a_{n+1}}{a_{n+1}}$

$=\sum\limits^{n}_{k=1} a_k \cdot \sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{1}{a_k} + \sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{a_k}{a_{n+1} } + \sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{a_{n+1}}{a_k} + 1$

$=\sum\limits^{n}_{k=1} a_k \cdot \sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{1}{a_k} + \left(\sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{a_k}{a_{n+1}} + \cfrac{a_{n+1}}{a_k}\right) + 1$

Substituindo o produto dos dois primeiros somatórios conforme a hipótese de indução nos resta:

$\geq n^2+ \left(\sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{a_k}{a_{n+1}} + \cfrac{a_{n+1}}{a_k}\right) + 1\:\:\:(i)$

Temos também que o somatório restante é maior ou igual a $2n$. Segue demonstração:
$(a_k - a_{n+1})^2 \geq 0\\{a_k}^2 - 2a_k \cdot a_{n+1} + {a_{n+1}}^2 \geq 0\\{a_k}^2 + {a_{n+1}}^2 \geq 2a_k \cdot a_{n+1}$

Como $a_k \cdot a_{n+1} \neq 0$, podemos dividir ambos os lados da igualdade por $a_k \cdot a_{n+1}$ :
$\cfrac{{a_k}^2 + {a_{n+1}}^2}{a_k \cdot a_{n+1}} \geq \cfrac{2a_k \cdot a_{n+1}}{a_k \cdot a_{n+1}} \\\\\\\cfrac{a_k}{a_{n+1}} + \cfrac{a_{n+1}}{a_k} \geq 2$

Retornando em $(i)$:

$\geq n^2+ \left( \sum\limits^{n}_{k=1} 2 \right) + 1\\\geq n^2 + 2n + 1\\\geq (n+1)^2$

Como $p(1)$ é válido (elemento mínimo dos naturais) e como $p(n) \Longrightarrow p(n+1)$, podemos afirmar que a proposição é válida $\forall n \in \mathbb{N}$