Question

(Aritmética – Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita)

Sejam $x,\,y\in\mathbb{R}.$ Utilizando o Princípio da Indução Finita, mostre que

     $\begin{array}{l} x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots +xy^{n-2}+y^{n-1})\\\\ \displaystyle =(x-y)\sum_{k=1}^n x^{n-k}y^{k-1}\end{array}$

para todo $n\in\mathbb{N}^*.$

Answer 1

Verifiquemos se a proposição é válida com $n = 1$ :

$x^1 - y^1 = (x-y) \sum\limits_{k=1}^{1} x^{1-k}y^{k-1}\\\\x - y = (x-y) x^0y^0\\x-y = x-y$

$p(1)$ é válida.

Hipótese de indução: supor que dado um $m \geq 1$ inteiro qualquer, vale $p(m)$ :

$x^m - y^m = (x-y) \sum\limits_{k=1}^{m} x^{m-k}y^{k-1}$

Passo indutivo: demonstrar que é válido também para $p(m+1)$ :

$(x-y) \sum\limits_{k=1}^{m+1} x^{m+1-k}y^{k-1}\\\\\\= (x-y) (\sum\limits_{k=1}^{m} x^{m+1-k}y^{k-1} + x^{m+1 - (m+1)}y^{(m+1) - 1})\\\\\\= (x-y) (\sum\limits_{k=1}^{m} x \cdot x^{m-k}y^{k-1} + y^m)\\\\\\= (x-y)(x(\sum\limits_{k=1}^{m} x^{m-k}y^{k-1}) + y^m)\\\\\\= x (x-y) (\sum\limits_{k=1}^{m} x^{m-k}y^{k-1}) + (x-y) \cdot y^m$

Que, pela hipótese, nos é permitido substituir uma porção da expressão acima:
$= x (x^m - y^m) + (x-y) \cdot y^m\\= x^{m+1} - xy^m + xy^m - y^{m+1}\\= x^{m+1} - y^{m+1}$

Expressão que está no formato desejado.

Como $p(1)$ é válido e $p(m) \Longrightarrow p(m+1)$, se pode afirmar que a proposição é válida para todo número natural.