Question

(Aritmética: Números primos – máximo divisor comum)

Sejam n, p naturais. Mostre que

     se p é primo, então mdc(n, p − n) = 1.

para todo $n\in\{1,\,2,\,\ldots,\,p-1\}.$​

Answer 1

Digamos que $n$ e $p-n$ têm um divisor em comum, $d$. Desse modo:
$n = xd\\p -n = yd\\\\p - xd = yd\\p = yx + xd\\p = d (y + x)$

Como $p$ é primo, $d = 1$ ou $d=p$. Porém temos também que:

$d \leq min(n,\: p-n) < p$

Restando unicamente $d = 1$, demonstrando a sentença original.